河北省廊坊市第六中学2025~2026学年八年级上册第二次月考数学试题【附解析】

这是一份河北省廊坊市第六中学2025~2026学年八年级上册第二次月考数学试题【附解析】，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则的值为（ ）
A．4B．C．5D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ）
A．2B．C．D．
6．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则的值为（ ）
A．60B．30C．15D．
8．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（ ）
A． B．C．D．
9．计算：，该计算过程中没有用到的法则是（ ）
A．同底数幂的乘法法则B．幂的乘方法则
C．同底数幂的除法法则D．积的乘方法则
10．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（ ）
A．B．
C．D．
11．灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（ ）
A．B．
C．D．
12．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（ ）
①展开式的第三项的系数是15；
②；
③展开式中含项的系数是2026；
④展开式中各项系数之和为32．
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题
13．若多项式是一个完全平方式，则k的值是 ．
14．若可分解为，则的值为 ．
15．若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ．
16．若等式成立，则整数 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中，．
18．分解因式及利用因式分解计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．求值：
（1）已知，，求的值；（用含a、b的代数式表示）
（2）已知，，求的值．
20．若展开后不含和项，求的值．
21．阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：
①
②；
（2）求多项式的最小值．
22．阅读下列文字：
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．
例如图1得到：，基于此，请回答下列问题：
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：______________；
（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值；
（3）已知：，求的值．
23．“整体思想”在数学中应用极为广泛．
例如：已知，求的值．
解：∵，
∴
∴．
请尝试应用“整体思想”解决以下问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
24．材料一：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如若，利用配方法求的最小值；
；
，，
当时，有最小值．
材料二：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
这种分解因式的方法叫做分组分解法．
利用以上材料解决下列问题：
（1）已知的三边长，，，满足，试判断的形状，并说明理由．
（2）已知，，是的三边长，，，为整数且满足，求的周长．
（3）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．
①用含有的代数式表示．
②当为何值时，的值最大，最大值是多少？
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了同底数幂相乘．根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故选A．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查平方差公式的应用，解题思路是利用平方差公式 ，将已知条件直接代入求解．
【详解】解：∵ ，
且 ，，
∴ ，
∴ ．
故选C．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、与不是同类项，不能直接相减，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选D
4．【正确答案】C
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式．
【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式，
选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式，
选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式，
选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式，
选项D、右边是，但左边，故不是分解因式，
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了提公因式法分解因式．
公因式是多项式中各项都含有的因式，需取系数的最大公因数和形同字母的最低次幂．
【详解】解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为），
∴公因式为．
故选D．
6．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断．
【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为；
选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ；
选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ；
选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解．
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查了求代数式的值，准确的计算是解决本题的关键．
将代数表达式重组并因式分解，利用完全平方公式和已知条件代入计算即可．
【详解】解：
，
又∵，
∴
．
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，，结合，得，即可作答．
【详解】解：依题意，，，
∵，
∴，
即，
∴，
故选B．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，分析题意，通过分析计算过程，识别每一步所运用的幂运算法则，并判断哪个法则未被使用，即可作答．
【详解】解：∵，
∴第一步应用积的乘方法则：，
∴第二步应用幂的乘方法则：，
∴第三步应用同底数幂的乘法法则：，
则全程未涉及除法运算，
∴ 未用到同底数幂的除法法则，
故选C
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积；
∵这两个图形的面积是相等的，
∴，
故选D．
11．【正确答案】B
【分析】计算第二块长方形面积与第一块正方形面积的差，通过多项式展开和简化得到结果即可；本题主要考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵第一块地面积为，第二块地面积为，
∴第二块比第一块多的面积为：
；
故选B．
12．【正确答案】D
【分析】本题考查了数字变化规律，根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解．
【详解】解：①∵展开式的第三项的系数是，
∴该结论正确；
②∵
，
∴该结论正确；
③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行，
∴展开式中含项的系数是2026，
∴该结论正确；
④∵展开式为，
∴其中各项系数之和为，
∴该结论正确，
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选D．
13．【正确答案】
【分析】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解答的关键．根据完全平方式是一个二次三项式，其中两项是两个数（或式）的平方，且符号相同，另一项是这两个数（或式）乘积的2倍，符号可正可负，据此进行求解即可．
【详解】解：多项式是完全平方式，
则，
∴.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解；
【详解】解：∵，
∴，
∴，；
解得，；
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为，
∴该三角形的面积为
．
16．【正确答案】或2或0
【分析】本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数．
【详解】解：要使 成立，需考虑以下情况：
1、 当指数时，即，此时底数，故，成立．
2、 当底数时，即，此时指数，故，成立．
3、 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立．
其他情况均不满足等式，故整数的值为．
17．【正确答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
18．【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算．
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（4）直接利用完全平方公式进行简便计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）逆用同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）逆用同底数幂的乘法法则，逆用幂的乘方法则解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
20．【正确答案】
【分析】本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键．
先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：
展开后不含和项，
，
解得．
21．【正确答案】（1）①；②；
（2）．
【分析】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键．
（1）①仿照题干作答即可；
②仿照题干作答即可；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：
，
，
所以多项式的最小值为．
22．【正确答案】（1）
（2）14
（3）-4
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用．
（1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论；
（2）计算多项式乘以多项式，进而求得的值，计算，即可求解；
（3）设，利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】（1）
（2）
；
．
（3）令，
，
，
，
，
．
23．【正确答案】（1）10
（2）58
【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键．
（1）仿照题例，利用整体代入法解答即可；
（2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
．
（2）解：∵，
∴，
∴
．
24．【正确答案】（1）是等腰三角形，见详解
（2）的周长为
（3）①；②时，的值最大，最大值是
【分析】（1）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形；
（2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从而得到，，由三角形三边的不等关系得，由为整数得，即可求得的周长；
（3）①由题意得，，，，由三角形面积公式即可求解；
②把①中函数解析式配成顶点式，由二次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长，，满足，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵
∴
∴，
∴，，
∵
∴，
∵，，为整数，
∴
∴的周长为；
（3）解：①∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴的面积为；．
②由①知，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是．