河北省邯郸市育华中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省邯郸市育华中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的大致图象是( )
A．B．C．D．
3．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（ ）
A．0B．C．D．不能确定
4．如图，，，，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是和，则茶杯的杯口外沿半径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．某厂家2024年1～5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）

A．B．
C．D．
9．抛物线与轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是( )
A．一元二次方程的解是，
B．抛物线的对称轴是
C．当时，随的增大而增大
D．抛物线的顶点坐标是
10．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ的大小是（ ）
A．18°B．36°C．72°D．90°
12．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为 ．
14．每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为 米．
15．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ．
16．如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．

（1）当时，的长为 ；
（2）在滑动过程中，的最大值是 ．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：．现从容器中任意摸四个小球，对小球上的数字进行运算．
（1）若摸出的四个小球上分别标有，计算：；
（2）若摸出的四个小球上的数字之积不为0，求这四个数字的和．
19．如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
（1）求代数式；
（2）嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明．
20．如图，，点是线段上的一点，且．已知．

（1）证明：．
（2）求线段的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）①________，________；
②求一次函数的解析式；
（2）求的面积．
22．图为一种半圆形摇椅，如图，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆，，及是支撑杆，点在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点．如图，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地切于点，的延长线交半圆于点．
（1）求半径的长；
（2）如图乘坐时，①直接写出的度数为________；
②求出点到地面的高度为多少？
（3）请直接写出到的路径长是________．
23．将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将绕点O顺时针旋转．
（1）当旋转至如图①的位置时，与的数量关系为________，与的位置关系为________；
（2）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，
①求证：；
②求的长．
（3）当旋转到使得的度数最大时，直接写出的面积为________．
24．综合与实践
弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米．
数学建模
（1）在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式；
问题解决
（2）现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的核心特征是解题关键．
中心对称图形是把图形绕某一点旋转后，能与自身重合的图形，据此对选项依次进行判断．
【详解】解：选项：绕图形中心旋转后，能与自身重合，是中心对称图形；
选项：绕某一点旋转后，无法与自身重合，不是中心对称图形；
选项：绕某一点旋转后，无法与自身重合，不是中心对称图形；
选项：绕某一点旋转后，无法与自身重合，不是中心对称图形．
故选．
2．【正确答案】B
【分析】根据二次函数解析式写出顶点坐标和对称轴，即可判断．
【详解】解：∵二次函数，
则可得二次函数的顶点是： ，对称轴是 ，
又∵ ，
∴图象开口向上，
所以选项B图象符合．
故选B．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案．
【详解】解：∵方程的两实数根互为相反数，
设两个根为a，b，
则，
∴，
故选A.
4．【正确答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，准确应用平行线分线段成比例定理是解题关键．
依据平行线分线段成比例定理得出，然后代入数据可求得．
【详解】解：，
，
，，，
，
．
故选．
5．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键．
根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可．
【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点B的坐标为．
故选B．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题关键．
通过作辅助线，利用垂径定理求出弦长的一半，再结合刻度尺的宽度表示出圆心到弦的距离，设半径为未知数，借助勾股定理建立方程，求解得到圆的半径．
【详解】解：如图，设刻度尺与杯口外沿的交点为，，切点为，茶杯口圆心为，
连接，，，交于点，
由题可知，，，，
，
，
在中，设，则，
根据勾股定理，可得，
即，
解得，
茶杯的杯口外沿半径为．
故选．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设从2月份到4月份该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万辆，4月份的产量将达到461万辆”，即可得出方程．
【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，
根据题意可得方程：．
故选B．
9．【正确答案】C
【分析】解：根据函数图象与x轴交点的横坐标为，，故A正确；
根据二次函数图象的对称性，即对称轴为x=，故B正确；
由函数图象的走势可以发现，当时，随的增大而减小，故C错误；
由函数图象可以确定，当横坐标为对称轴时，可得对应的纵坐标为顶点的纵坐标为，即可判定D．
【详解】解：根据函数图象与x轴交点的横坐标为的解即可判定A；根据二次函数图象的对称性即可判定B；由函数图象的走势即可判定C；由函数图象可以确定，当横坐标为，则顶点坐标为，故D正确．
故答案为C．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键．
过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，
∵
∴
∴，
∴．
故选C．
11．【正确答案】A
【详解】试题解析：∵圆锥的底面半径为10cm，
∴圆锥的底面周长为20π，
∴20π=，解得：n=90°，
∵扇形彩纸片的圆心角是108°
∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°-90°=18°．
剪去的扇形纸片的圆心角为18°．
故选A．
考点：圆锥的计算.
12．【正确答案】C
【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数．
【详解】解：，
，
多边形是正六边形，
，其内角和为，
，
连接，作于，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
，
．
当过点时，；
当过点时，；
，
则可取5，6，7，8，共4个整数值，
故选C．
13．【正确答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
将带入原方程，得出关于的方程，求解即可．
【详解】解：将带入得：，
解得.
14．【正确答案】2
【分析】本题考查二次函数与实际问题．把代入函数解析式，即可解答．
【详解】解：令，则，
∴篮球出手点的高度为2米．
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案．
【详解】解：连接，，如下图，
∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵
∴，
∴这个正多边形的边数．
16．【正确答案】3；3
【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，连接，

∵，
∴，
∴，是等边三角形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
（2）如图所示，延长交于点，连接，

∵，是直径，
∴，即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
当为直径时，即，的值最大，则的值最大，
∴的最大值是.
17．【正确答案】（1），；
（2），．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键．
（1）利用有理数的四则混合运算法则计算即可；
（2）根据题意得到摸出的四个数字为，5，2，，再求和即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵摸出的四个数字的积不为0，
∴摸出的四个数字为，5，2，，
．
19．【正确答案】（1）
（2）嘉嘉的说法正确，理由见详解；
【分析】本题考查的是整式的混合运算，平方差公式的应用，理解题意是关键；
（1）根据加法的意义列式计算即可；
（2）先求解，再计算与0比较大小，从而可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）嘉嘉的说法正确；理由如下：
由题意可得：
，
∵
，
∴．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
21．【正确答案】（1）①，；②；
（2）9
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，三角形面积，求出两个函数解析式是解题的关键．
()根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
()根据三角形面积的和差，可得答案；
【详解】（1）解：①∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②由①得，点的坐标为，
∵点，在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵点为直线与轴的交点，
∴把代入函数，得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
．
22．【正确答案】（1）
（2），
（3）
【分析】（1）借助垂径定理以及弦长，结合勾股定理可求出半圆半径；
（2）①在直角三角形中利用三角函数值确定特殊角的度数；②构造垂直辅助线，通过角度推导和三角函数计算出，结合圆半径长度即可求出点到地面的高度；
（3）依据半圆无滑动滚动时，弧长与对应线段长度相等，代入弧长公式直接求出的长度．
【详解】（1）解：，，
，
，
．
答：．
（2）解：①，，
，
；
②如图，过点作，
，半圆与地切于点，
，，
，
，，
，
，
，
,
，
，
故点到地面的高度为．
答：，．
（3）解：由题可知到的路径长即为的长，
圆心角，半径，
根据弧长公式，
故的长为．
答：．
23．【正确答案】（1），
（2）①见详解；②
（3）
【分析】（1）利用证明，再结合等腰直角三角形的性质即可得到，；
（2）①过点作于．首先证明；
②推出，求出，可得结论；
（3）当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵点A坐标为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴即；
（2）解：①证明：如图②中，过点作于．
，
，
，，
；
②解：；
，
在中，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
，
，
，，，
．
24．【正确答案】（1）
（2）这辆货车可以完全停进遮阳棚内，见详解
（3）钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数关系式、勾股定理等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，设与的函数关系式为，将点代入，运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意：设点的坐标为，将代入解析式可得，然后加6与8比较即可；
（2）先求得的函数关系式为，设点的坐标为，将解一元二次方程即可解答．
【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，
设与的函数关系式为，
抛物线的函数关系式为
点的坐标为，
将点代入函数关系式中，得：，解得：．
与的函数关系式为．
（2）解：根据题意：设点的坐标为，
将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，
这辆货车可以完全停进遮阳棚内．
（3）解：设线段的函数关系式为，
将点代入中得：，
的函数关系式为．
抛物线的一般式为，
且点是抛物线上的点，
∴设点的坐标为，
轴，点的横坐标为，点在上，
点的坐标为．
．
将代入得：．
解得：（不符合题意，舍去）．
答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置．