河北省邯郸市第二十五中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份河北省邯郸市第二十五中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中的线段是圆的直径的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各点，在二次函数的图象上的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
4．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．4.5B．6C．7.5D．9
5．已知变量y与x成反比例，当时，；那么当时，x的值是（ ）
A．6B．C．9D．
6．如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．9
7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4
D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜
9．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
10．如图，在中，，，以为直径的交于点，若点恰好为的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，点是⊙的弦上一点．若，，的弦心距为，则的长为（ ）
A．3B．4C．D．
12．在中，，，，是以点为圆心，2为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A．5B．3.5C．4.5D．4
二、填空题
13．若线段是成比例线段，且，则 ．
14．如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高 米．
15．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为 ．
16．如图所示，扇形从图无滑动绕着点旋转到图 ()的位置，再由图紧贴直线运动到图，已知，．由图到图点所运动的路径长是______(结果保留)．
三、解答题
17．已知反比例函数的图象经过点．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点，是否在这个函数的图象上？
18．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
19．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，，．
（1）试作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）将三角形绕边旋转一周，求所得几何体的全面积．
20．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数．
（1）求10分钟以后与的函数关系式；
（2）如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？
21．周末，爸爸妈妈带着小明和小红兄妹俩去游乐场游玩，乘坐如图1的摩天轮时，他们排队依次登上摩天轮．如图2，妈妈带着小明和小红在水平地面处登上摩天轮，当妈妈乘坐的座舱升到点时，小明和小红在处和处（点在点的正上方），爸爸还在水平地面处排队等候登轮．已知点为弧的中点，切于点，点，，在一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求爸爸和小明的距离的长．
22．如图是钉板的示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则：
（1）与是否垂直？______（填“是”或“否”）．
（2）求的长，写出解答过程．
（3）设，将绕点A顺时针旋转（旋转角度），得到，当的面积达到最大时，直接写出对应的旋转角度的大小（用表示）．
23．已知抛物线过点．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，抛物线如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度．
①求抛物线的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系；
②若是抛物线上不同的两点，且，求的值；
③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线中对应的曲线记为图象，并将图象沿轴竖直向下平移个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出的取值范围．
24．如图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．
算一算：将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r．
（1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，求r的值．
（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则______．
（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案
【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意；
B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意；
C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意；
D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键．
直接把各选项的坐标代入二次函数看是否满足即可解答．
【详解】解：A．时；，不符合题意；
B．时；，不符合题意；
C．时；，不符合题意；
D．时；，符合题意．
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则
，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴这个多边形是正五边形．
故C．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
根据平行线分线段成比例得到，进而得到，从而得到的长．
【详解】解：
，
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数，首先设出反比例函数解析式，运用待定系数法求得k的值；再进一步根据解析式和y的值，求得x的值．
【详解】解：设，
∵当时，，
∴，
∴，
当时，则，
故选B
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据题意先求得的半径，进而得到，然后利用勾股定理求得，根据垂径定理可知，据此即可求得答案．
【详解】解：∵为的直径，为的弦，于点E，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
7．【正确答案】D
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；
B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意；
D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种，
故小明获胜的概率为，符合题意；
故选D．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键．
根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴正五边形的每个内角的度数为，即，
∴，
∴，即每个正五边形所对圆心角为，
∵，
∴共需要正五边形的个数是10个，
故选D．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定和性质以及扇形的面积公式，证明是等腰三角形，求出的度数是解题的关键．
首先证明是等腰三角形，求出，然后根据圆周角定理求出，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接，如图所示，
是直径，
，即，
为的中线，
是等腰三角形，
，
，
，
半径为2，
，
故选B．
11．【正确答案】D
【分析】过点作于点，根据垂径定理得出，继而得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，，的弦心距为，
∴,，，
∴，
在中，，
故选D．
12．【正确答案】B
【分析】取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出和长，再根据三角形的三边关系确定长度的范围，从而确定的最小值．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，，
∵是的中点，是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
∵为斜边的中线，
∴，
在中，，即，
∴的最大值为3.5．
故选B．
13．【正确答案】6
【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的定义，可得比例关系，进而利用比例性质求解．
【详解】解：∵线段是成比例线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
14．【正确答案】8
【分析】首先根据，，可得，进而可得，再代入相应数据可得长．
【详解】解：如图，
，，
，
∴，
由题意可知，米，米，米，
∴，
∴米．
答：长臂端点应升高了8米．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解此题的关键．由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
∴.
16．【正确答案】
【分析】本题主要考查了弧长公式，旋转的性质，解题的关键是正确运用弧长公式进行计算．
由图到图，点所运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：由图到图，点所运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长，
根据弧长公式（其中为圆心角度数，为半径），
可得路径长.
17．【正确答案】（1）
（2）点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上
【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）将点的横坐标代入求函数值即可判断．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴这个函数的表达式为．
（2）∵当时，，
∴点在这个函数的图象上；
∵当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
18．【正确答案】（1）100；见详解
（2）
（3）
【分析】本题考查树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），
喜爱足球的人数为：（人），
条形统计图如下所示，
（2）解：“羽毛球”人数所占比例为：，
∴扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数.
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（甲、乙两人被选中）．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了作图—旋转变换，圆锥的表面积公式，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由旋转的性质作图即可；
（2）由勾股定理可得，将三角形绕边旋转一周，形成一个圆锥，再由圆锥的表面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图：即为所作图形；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
将三角形绕边旋转一周，形成一个圆锥，故所得几何体的全面积为．
20．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键；
（1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式；
（2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：依题意，将代入，得，
设10分钟以后与的函数关系式为
将，代入，得，
∴反比例函数关系式为．
（2）解：由（1）得反比例函数关系式为．
当时，，解得；
当时，，解得．
∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）爸爸和小明的距离的长为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质．
（1）连接，求得，推出，利用平行线的判定定理得到；
（2）连接，证得，由正切函数得到，求得，，再在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
∴．
答：爸爸和小明的距离的长为．
22．【正确答案】（1）是
（2）的长为
（3）或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）作于，的延长线于，由题意知，，，，，，，由，，易证，则，进而证明；
（2）先通过勾股定理求出，由，可得，可得即可求解；
（3）由旋转性质得，，当的面积达到最大时，，由，可得，求出或即可．
【详解】（1）解：如图，作于，的延长线于，
由题意知，，，，，，，
，，
，
，
，
，
，
.
（2），，，
，
，，
，
；
（3）由旋转性质得，，边上的高为，
如图所示，当的面积达到最大时，，
，
，
，
旋转角度，
如图所示，还有另一种情况，旋转角度的大小，
23．【正确答案】（1）
（2）①，见详解；②；③
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入，即可得到答案；
（2）①时，，化为顶点式即可得到顶点坐标，画出图形；
②当时，，根据题意得到，即可得到答案；
③由题意得，平移后的解析式为，分当时和当时两种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入，
得到；
（2）解：①当时，，
抛物线的顶点坐标为
如图：
②当时，．
，
，整理得，
解得．
是抛物线上不同的两点，
；
③t的取值范围为．
由题意得，平移后的解析式为．
当时，；
当时，；
当时，．
当时，随的增大而增大．
由图象需在矩形框内可得，解得．
由，得．
在中，若要满足图象在矩形框内，此时需要，结合的图象，可得或．
综上，当或时，图象在矩形框内，但均不满足，舍去．
当时．
由图象需在矩形框内可得，解得．由，得．
由，得．
由，得．
在中，若要满足图象在矩形框内，此时需要，结合的图象，可得（舍）或．
综上，当时，图象在矩形框里．
24．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）连接，由题意并结合圆周角定理可得为直径，再由勾股定理计算即可得出结果；
（2）连接圆心与切点，交于，连接，则，由题意可得，证明四边形为矩形，得出，，从而可得，，再由勾股定理计算即可得出结果；
（3）过点作于，延长交于，连接、，证明四边形为矩形，得出，，，由题意可得，，，则，，，设，则，再由勾股定理计算得出，即可得出结果．
【详解】（1）解：如图：连接，
由题意可得：，，，
∴，
∴为直径，
由勾股定理可得：，
∴半径；
（2）解：如图，连接圆心与切点，交于，连接，则，
由题意可得：，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
在中，，即，
解得：；
（3）解：如图，过点作于，延长交于，连接、，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
由题意可得，，，，
∴，
∴由垂径定理可得，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．