河北省石家庄第二十三中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

这是一份河北省石家庄第二十三中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】，共24页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．有下列函数关系式：①；②；③；④，其中一次函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．一组数据：0，10，3，5，3，5，2，1的中位数是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．5
3．方程的根是（ ）
A．B．C．，D．，
4．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形
5．如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
7．如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下：，根据公式信息，下列说法中，错误的是（ ）
A．数据个数是5B．数据平均数是8C．数据众数是8D．数据方差是0
9．如图，C、D是上直径两侧的点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．已知反比例函数,下列说法不正确的是( )
A．图象经过点
B．图象分别在二、四象限
C．时,或
D．在每个象限内y随x增大而减小
11．如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：；
乙：
其中正确的是（ ）
A．甲对、乙不对B．甲不对、乙对
C．甲、乙均对D．甲、乙均不对
12．如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（ ）
A．B．C．D．
13．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．B．
C．D．
14．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴是轴
C．方程的根为0和2D．当时，随增大而增大
15．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
16．图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2．将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．小易在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（ ）
结论I：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；
结论Ⅱ：图2中，点P到杯口的距离为5．
A．I不对Ⅱ对B．I对Ⅱ不对C．I和II都对D．I和II都不对
二、填空题
17．若方程是一元二次方程，则m的值为 ．
18．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1= 度．
19．已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ．
20．如图，中，，，，点，点分别是，边上的动点，，以为直径的交于，两点，则线段的最大值为 ．
三、解答题
21．（1）解方程；
（2）计算
22．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②扇形统计图中圆心角______度；
（2）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
23．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点M是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求M点的坐标及的最小值．
（3）根据图象，直接写出当时，y的取值范围．
24．如图，的直径，弦，的平分线交于点D，过点D作交延长线于点E，连接、．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）求证：是的切线．
（3）求线段的长．
25．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx＋b，部分数据如表：
经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．
（1）y与x的函数关系式是 ，x的范围是 ；
w与x的函数关系式是 ；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？
（3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查一次函数的定义，在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果满足这样的关系：(k为一次项系数且，b为任意常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量 (又称函数）．
【详解】解：①是一次函数，②是一次函数，③的自变量的次数为2，不是一次函数，④的在分母上，不是一次函数，
所以一次函数有个，
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的概念，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数．
根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，
最中间两个数的平均数是：，则中位数是，
故选B．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
故选D．
4．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，
则是直角三角形．
故选D．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，由，得，把，，代入求出，然后由线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项．
【详解】移动前的主视图为：
，
左视图为：
，
俯视图为：
移动后的主视图为：
，
左视图为：
，
俯视图为：
，
所以它的主视图会发生变化．
故选A
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴数据个数是5，故选项A正确，
数据平均数是：=8，故选项B正确，
数据众数是8，故选项C正确，
数据方差是：s2=[(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2]=，故选项D错误，
故选D．
9．【正确答案】D
【分析】利用直径所对的圆周角是，求出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及，求出，再利用三角形内角和定理，即可求出
【详解】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D
10．【正确答案】D
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
根据反比例函数的图象和性质逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、,图象经过点(4,-2),正确,不符合题意；
B、,图象分布在第二、四象限,正确,不符合题意；
C、反比例函数,时,或,正确,不符合题意；
D、反比例函数,在每个象限内y随x增大而增大,不正确,符合题意；
故选D．
11．【正确答案】A
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程．
【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为，
种植花草的面积为，
从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为，
矩形的面积为，
可列方程，
甲列的方程正确；
两条竖着的小路的长为，宽为，
两条竖着的小路的面积为，
横着的小路的长度为，宽为，
横着的小路的面积为，
三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形，
重叠部分的面积为，
小路的面积可表示为，
可列方程为，
乙列的方程错误；
综上所述，甲对、乙不对．
故选 A．
12．【正确答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点，连接，，根据题意得出，勾股定理求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，，
∴是正六边形的外接圆的直径，则
依题意，，
∴，
∵是边上一个动点，
∴，
∵，
∴的值可能是，
故选C．
13．【正确答案】B
【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【详解】将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，
所得到的抛物线为
故选B．
14．【正确答案】C
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据二次函数解析式和性质依次进行判断即可.
【详解】解：将代入抛物线的解析式得；
，解得：
所以抛物线的解析式为：
A、 ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线 ，故选项错误，不符合题意；
C、方程 的根为 和，故选项正确，符合题意；
D、在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意.
故选C．
15．【正确答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．
【详解】解：∵点I是的内心，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
故选D．
16．【正确答案】B
【分析】由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论Ⅱ．
【详解】解：由题意得，，，，
设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入得
，解得：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把、代入得：
，解得：，
∴直线：
由，解得，（舍）
当，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，
∴I对Ⅱ不对，
故选B．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零且未知数的最高次数为2，列方程求解．
【详解】解：由一元二次方程的定义，得且，
解得：且，
故．
18．【正确答案】42
【详解】正六边形的内角是：（6-2）×180°÷6=120°，
正五边形的内角是：（5-2）×180°÷5=108°，
正方形的内角是90°，
则∠1=360°-120°-108°-90°=42°，
故答案为42.
19．【正确答案】
【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得．
【详解】解：设这个扇形的半径是，
则，
解得，
所以这个扇形的半径是2.
20．【正确答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理和三角形的等面积法，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理和三角形的等面积法是解决问题的关键．
过点做，连接，根据垂径定理和勾股定理推出最小时，取最大值，过点作于点，根据勾股定理求出的值，再由三角形的等面积法求出，根据，求出的最小值，最后根据勾股定理求出，即可求出的值．
【详解】解：过点做，连接，
∵为的直径，，
∴点在上，
∴，
在中，是定值，故最小时，取得最大值，
∵，
∴，
∴最大时，取得最大值，
过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
由图可知，，
∴，
∴点在上时，最小，最小值为4，
∴在中，，
∴．
21．【正确答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的混合运算，掌握解一元二次方程的方法和各个特殊角的锐角三角函数值是关键．
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先将各个特殊角的三角函数化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
所以，．
（2）解：
．
22．【正确答案】（1）①；②
（2）见详解，（恰好抽中甲、乙两人）
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图是解题的关键．
（1）①用B组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；②先求出A组的人数，再求出C组的人数，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案；
（2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中甲、乙两人的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：①名，
∴这次调查一共随机抽取了400名学生；
②由题意得，A组的学生人数为名，，
∴C组的学生人数为名，
∴；
（2）解：由题意可画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
23．【正确答案】（1），
（2）点M的坐标为．的值最小即为的长
（3）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，待定系数法求解函数解析式等知识点．
（1）先由待定系数法求解函数解析式，再配方成顶点式，求解顶点坐标；
（2）先求出点B的坐标为，而C的坐标为，那么与直线交点即为M点，根据轴对称性，可得，两点之间线段最短可知，的值最小，然后求出直线，即可求解点M的坐标为．的值最小即为的长；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为．
，
顶点D的坐标为．
（2）解：顶点D的坐标为，
抛物线的对称轴为，
抛物线与x轴交于两点，
∴点A与点B关于对称轴对称，
．
点B的坐标为，
当时，，
则点C的坐标为，
∴，
则与直线交点即为M点，如图，
根据轴对称性，可得，两点之间线段最短可知，的值最小．
设直线的解析式为，
把代入，可得
解得：，
，
当时，，
点M的坐标为，的值最小即为的长；
（3）解：对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴，，
当时，；
当时，，
∴当时，．
24．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】（1）连接，由是直径知，结合平分知，从而知，根据图中阴影部分的面积可得答案；
（2）由，即，根据可得，即可得证；
（3）勾股定理求得，作知四边形是正方形，即可得，由知，即，求得的长即可得的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是直径，且，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
则图中阴影部分的面积是；
（2）证明：由（1）知，即，
∵，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵，，
∴，
过点A作于点F，则四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
25．【正确答案】（1）
（2）销售单价定为28元时，获利最大，为46400元；
（3）
【分析】（1）由表中数据可得两点（1，4900），（2，4800），再运用待定系数法求出函数关系式；根据总利润=销售单价×销售量-红包费用即可得到函数的函数关系式；
（2）根据二次函数的图象与性质可求最值；
（3）先求出收取费用后的函数关系式，再求出当时函数有最大值42100元，代入函数关系式得一元二次方程，求出a的值，进行取舍即可．
【详解】（1）由表中数据可得，当时，当时，
代入得，
解得，
∴y与x的函数关系式是，且；
由于销售单价不低于成本价格（6元）且不高于30元/kg，则
（2），
∵，
∴函数图象开口向下，有最大值，
又函数图象的对称轴为，
∵，
∴当时，函数有最大值，为46400，
∴销售单价定为28元时，获利最大，为46400元；
（3）收取a元后，利润为
∵，
∴函数图象开口向下，有最大值，
又函数图象的对称轴为，
∵
∴
∴当时，获利最大值为42100元，
将代入得，
，
解得，（舍去）
∴…
0
1
2
3
…
…
3
0
3
…
销售单价x（元/kg）
1
2
10
每日销售量（kg）
4900
4800
4000