北京市西城区德胜中学2025~2026学年八年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市西城区德胜中学2025~2026学年八年级上册12月月考数学试题【附解析】，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．他强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小德同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
8．如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（ ）个．
正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．

A．B．C．D．
二、填空题
9．若分式有意义，则的取值范围是 ．
10．港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是 ．
11．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号）
①；②；③；④．
12．如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则 ．
13．如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为 °．
14．计算 ．
15．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC= °．
16．如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时， ．
三、解答题
17．因式分解：
（1）；
（2）．
18．（1）计算：；
（2）解分式方程：．
19．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵垂直平分，
∴________（________）（填推理依据）．
∴．
∵，
∴，．
∴________．
∴．
∴．
∴点为线段的中点．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，与是等边三角形．
（1）求证：；
（2）延长交于点，判断的大小并证明．
22．列分式方程解应用题：
2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米．
23．在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且，则称点为点关于线段的度等腰点．

（1）如图，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的度等腰点的是________________；
（2）如图，，，，若存在点关于线段的度等腰点，求的取值范围；
（3）如图，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）．
24．已知等边中，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
（1）如图1，当时，________°；
（2）连接，如图2，当时，
①判断的形状，并证明；
②设边长，面积，如图3，的平分线所在直线交于点，为直线上一动点，连接，当的值最小时，连接，写出此时面积______．
25．已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
（1）2的平方差倒数是________；
（2）是的平方差倒数，求的值：
（3）已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值．
26．在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”．
已知点，．
（1）①线段关于直线的1倍镜像“接收距离”是________；
②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3，的取值范围是________；
（2）点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是________；
（3）点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，求的取值范围（直接写出结果即可）．
答案
1．【正确答案】C
【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，
只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形；
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解．
【详解】解：，
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，掌握在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形的三边关系求出的取值范围即可解答．
【详解】解：由题意得，，
∴，即，
∴四个选项中，只有A选项符合题意.
故选A．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查指数运算的基本规则，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方法则分别计算即可判断．
【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意；
B选项：，故B正确，符合题意；
C选项：，故C错误，不符合题意；
D选项：，故D错误，不符合题意；
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，而，两者不相等，∴ A错误；
B、（当），变形正确，∴ B正确；
C、与不一定相等，例如当 时，左边，右边，不相等，∴ C错误；
D、，而不一定等于其平方，例如当时，左边，右边 ，不相等，∴ D错误；
故选B．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．
根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断．
【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，
在与中，
，
，
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查等腰三角形、直角三角形的性质．利用平行线找出等角等边，灵活运用直角三角形性质是解题关键．
根据是等腰三角形，且为中线，平分，可得，再由，则，，根据和直角三角形性质可求解．
【详解】是等腰三角形，且为底边中点，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，，
．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形，
，
，
， 则，
图中阴影部分的面积为，
，
正方形和的面积和是，故不正确；
图中新的正方形的面积是，故不正确；
由知，，则正方形和的面积差是，故正确；
联立，解得，则正方形的边长是，故正确；
综上所述，正确的有，共个．
故选B．
9．【正确答案】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
由分式有意义的条件：分母不为零，列不等式解不等式，从而可得答案．
【详解】解：由题意得， ，
解得 .
10．【正确答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性.
11．【正确答案】③
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解；
选项②右边不是积的形式，不是因式分解；
选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；
选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解；
故答案为③．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解．
【详解】∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点，
∴，
，
，
.
13．【正确答案】110
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，根据三角形的性质得和，结合题意得和，利用三角形外角和性质得即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则.
14．【正确答案】10
【分析】根据负指数幂的定义以及任何不为0的数的零次方都等于1，计算即可得到答案．
【详解】解.
15．【正确答案】30
【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF=DM，根据邻补角的定义得到∠DAM=60°，根据角平分线的定义得到∠BAE=60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB=90°，得到∠DEF=45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∴DF=DN,
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠ACB=30°，CD平分∠ACB，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=∠DEF -∠DCF=30°.
故答案为30．
16．【正确答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，构造对称点是解题的关键. 作点Q关于的对称点，连接，则交于点N，证明是等边三角形，当重合时，最小，此时在中求得最小.
【详解】解：作点Q关于的对称点，连接，则交于点N，
在等边中，，
，
，
，，
由轴对称的性质，得，，
，
，
，
，
，即，
，
是等边三角形，
，
，
当，即P，Q两点重合时，取得最小值，
此时，，
在中，，
当时，最小，
，
，
在中，，
.

17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了整式的运算，解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，即可得出答案；
（2）分式方程先去分母，再去括号，移项，最后求出的解，检验即可．
【详解】解：（1）原式
解：（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
．
经检验，是原分式方程的解．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；
（1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）作图如图所示：
（2）证明：连接．
∵垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴点为线段的中点．
20．【正确答案】；3
【分析】本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．【正确答案】（1）见详解
（2），见详解
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明出全等是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明全等；
（2）由全等的性质得到，进而得到，即可求出的大小．
【详解】（1）证明：与是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
∵，，
，
．
22．【正确答案】第二小组的步行速度是每小时5千米
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．
设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时千米，根据第一小组比第二小组提前6分钟到达，列出分式方程求解即可．
【详解】解：设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第二小组的步行速度是每小时5千米．
23．【正确答案】（1），
（2）的取值范围为且
（3）且
【分析】（1）根据，，得线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q，且点B，点C到对称轴的距离为，结合点使得是以为底边的等腰三角形，得到点P在对称轴直线上，当时，得到，此时是等腰直角三角形，且，这时点的坐标为，恰好是；当点坐标在下方时，，也符合题意；当点坐标在上方时，，不符合题意；解答即可．
（2）设的中点为，过点作轴于点，确定直线为线段的垂直平分线，求得其解析式为，确定点，都是等腰点的直角点，列式解答即可．
（3）当点与原点重合时，以为边构造等边三角形，过点作轴于点，利用等边三角形的性质，矩形的性质，平移的思想解答即可．
【详解】（1）解：，，
∴线段的对称轴为直线，设对称轴与轴的交点为，
∴点，点到对称轴的距离为，
∵点使得是以为底边的等腰三角形，
∴点在对称轴直线上，点，，都在对称轴直线上，
当时，
∴，此时是等腰直角三角形，且，这时点的坐标为，恰好是，符合题意；
点在下方，连接，，
∵，，
∴，
∴，即，
故，也符合题意；
点在上方，连接，，
∵，，
∴，即，
∴，
故，不符合题意.
（2）解：设的中点为，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，，
∴直线为线段的垂直平分线，
设直线的解析式为，
，解得，
∴直线的解析式为，
∴点关于线段的度等腰点在直线上，
∵，，设的对称轴与轴的交点为，
∴，的垂直平分线为直线，
∴点，点到对称轴的距离为，
∵点使得是以为底边的等腰三角形，且点关于线段的度等腰点，
∴点关于线段的度等腰点在对称轴直线上，且当等腰点到轴的距离为时，为直角，
∴点，都是等腰点的直角点，
∴或，
解得或，
∴等腰点在点下方，在上方，包括这两点，
∴的取值范围为，
∵时，，等腰点，三点共线，
∴，此时不符合题意，
∴的取值范围为且．
（3）解：当点与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点作轴于点，
∵点，点在轴正半轴上，满足，
∴，，，
过点作轴于点，则，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵点为轴上的动点，存在点关于线段的度等腰点，
∴是的一半，
∴，
当向上平移个单位时，此时；
当向下平移个单位时，此时；
根据定义得，
当时，，，三点共线，不符合题意，
故，
∴且．
24．【正确答案】（1）
（2）①是等边三角形，见详解；②．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、垂直平分线的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，利用“化曲为直”求最值是解题的关键．
（1）由垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，再结合等边三角形的性质可得，然后再根据等边对等角的性质即可解答；
（2）①由等边三角形的性质、垂直平分线的性质以及等边对等角可以说明垂直平分，即，结合已知条件可得，即，进而证明是等边三角形；②由等边三角形的性质以及角平分线的定义可得，如图：过P作于D，连接，由含30度直角三角形的性质可得，要求，只需求的最小值即可，又，只需求得的最小值即可；如图：过C作于，延长交于，由垂线段最短可知是的最小值，；再求得，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
∴，
∵，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①是等边三角形，证明如下：
如图：∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
②∵是等边三角形，
∴，
∵的平分线所在直线交于点，
∴，
如图：过P作于G，连接
∵，
∴，
∴要求，只需求的最小值即可，
∵，
∴只需求得的最小值即可，
如图：过C作于，延长交于，由垂线段最短可知是的最小值，
∵，，
∴，即，解得：；
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为，即当的值最小时，．
25．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题；
（2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题；
（3）利用新定义因式分解化简求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴2的平方差倒数是.
（2）解：∵是的平方差倒数，
∴，
∴，
去分母，得，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），
设这一正整数为n,
∴，
∴，
即，
去分母，得，
，
∵a，b，n为正整数，
∴，
∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数．
∵n为正整数，
∴，．
∴的最小值为25，此时，
∴的最小值为10．
26．【正确答案】（1）①；②
（2）
（3）
【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合．
（1）①求出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断；
②表示出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果；
（2）可推出、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，从而得出关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值；
（3）表示出、、、于直线的倍镜像的对应点坐标，关于直线的倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界的值，进而得出结果．
【详解】（1）解：①设线段关于直线的倍镜像的线段为，
∵倍镜像即，
∴直线即为直线，
点，关于直线的对称点为，，
到轴最大距离为，到轴最大距离为，
故线段关于直线的倍镜像“接收距离”为；
②点，关于直线的对称点为，，
∵线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3，
∴，得，
解得.
（2）解：如下图：
∵，，，
∵、距离轴的距离之差是，
∴、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，
∴，关于直线的m倍镜像“接收距离”的最小值是4.
（3）解：如图：
点，关于直线的对称点为，，
点，关于直线的对称点为，，
当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时，
，
解得，
当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时，
∴．