北京市广渠门中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份北京市广渠门中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列事件中，随机事件是（ ）
A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6
B．任意画一个三角形，其内角和为
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾
2．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，线段是的直径，弦，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移正确的是（）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
5．已知关于x的方程，如果，那么此方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
6．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
下列说法正确的是（ ）
A．若移植100棵幼树，成活数一定为90棵
B．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
7．如图，是的外接圆，在上找一点，使点平分．以下是甲乙丙三种不同的作法，作法正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：
①点C的坐标为；
②当时，是等腰直角三角形；
③若，则；
④抛物线上有两点和，若，且，则．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②④
二、填空题
9．把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为 ．
10．已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ．
11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．

12．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为 ．
13．如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为 ．

14．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日-4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的票房增长率为，可列方程为 ．
15．如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，是等腰直角三角形的边的中点，且是平面内一个动点，且与点之间的距离为2，连接，则的最大值为 ；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，取线段的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如
图，已知是弦上一点．求作：．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段的垂直平分线，分别交于点，垂足为：
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．
（2）完成下面的证明；
引理的结论为：．
证明：连接．
为的垂直平分线，
①_________②____________
，
又四边形为圆的内接四边形，
③___________，（④______________）（填推理的依据）
又，
，
又，
，
，（⑤______________）（填推理的依据）．
，
．
19．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
（1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象：
（2）结合图象回答问题：
①抛物线的对称轴为直线___________；
②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________；
③当时，的取值范围是___________．
20．如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径．
21．国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解．
（1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
23．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“”形的每个顶点均为网格线交点，将“”形绕点顺时针旋转，顶点A，B的对应点分别为，，线段的对应线段为．
（1）在图中标出点，并画出“”形旋转后所得到的图形；
（2）__________°；
（3）在旋转过程中，点所经过的路径长为__________．
24．如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，求的长．
25．1992年巴塞罗那奥运会上，由1984、1988年两届残疾人奥运会射箭奖牌获得者，37岁的巴塞罗那选手雷波洛射箭点火．只见他从轮椅上站起来，用火种点燃箭头，然后准确地射向米远、20米高的火炬塔，圣火随之而起．火炬塔上面的圣火台的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为（单位：），距地面的竖直高度为（单位：），获得数据如表：
小欣根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小欣的探究过程，请补充完整：
（1）的值为___________：
（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
（3）据说，为了成功点燃主火炬，雷波洛练了不下2000次．练习中，他的命中率超过了令人欣喜的．但是，由于开幕式是在晚间进行，而点火之前，体育场内的所有灯光熄灭，射手只能凭借月光和体育场外围微弱的灯光来判断火炬塔的位置．请结合函数与计算分析，雷波洛射出的箭是否掉进了圣火台里？请说明理由．
26．在平面直角坐标系中，抛物线，过，
（1）用含的式子表示，并求抛物线与轴另一交点的坐标．
（2）若直线过，两点，过作轴垂线交抛物线于点，连接交线段于点．
①当，时，求的值．
②当时，点沿线段从点运动到点的过程中，的值始终在增大时，求的取值范围．
27．在中，，，点D是边上一点，点E是上一动点，将线段绕点D顺时针旋转得到，点F落在边上，过E作交于G．
（1）如图1，当G与F重合时，求证：；
（2）如图2，当G与F不重合时，用等式表示与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“镜像弦”．
（1）已知：点，则线段，，中，是关于直线的“镜像弦”的是___________；
（2）是关于直线的“镜像弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；
（3）已知直线和点，若线段是关于直线的“镜像弦”．且，直接写出的值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6是不可能事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；
D、在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即．
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得，然后利用邻补角的定义计算的度数．理解并掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是的直径，，
∴，
∴，
∴．
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：；
故选B．
5．【正确答案】A
【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．先求一元二次方程的判别式，再根据，判断出的情况，由与0的大小关系来判断方程根的情况．
【详解】解：关于x的方程中，，，，
，
，
，
关于的方程有两个不相等实数根．
故选A．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查用频率估计概率．根据统计数据，随着移植总数增加，成活频率在0.900附近摆动并趋于稳定，因此可用频率估计概率．
【详解】解：∵ 从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为，均在左右摆动，显示出稳定性；
∴ 可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，故选项B正确．
选项A错误，因为成活数不一定为90棵，频率具有随机性；
选项C错误，因为成活率并非单调递增，如从3500到7000时频率下降；
选项D错误，因为基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如）．
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线，线段的垂直平分线的作法，圆周角定理，圆心角、弦和弧的关系等内容，解题的关键是掌握基本的尺规作图．
利用圆周角定理，圆心角、弦和弧的关系等内容以及基本的尺规作图，逐项进行判断即可．
【详解】解：甲作的是的平分线，由，得点平分，甲的作法正确；
乙作的是的平分线，由，得点平分，乙的作法正确；
丙作的是的垂直平分线，平分及其所对的弧，所以点平分，丙的作法正确；
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．当时，，从而抛物线与轴的交点坐标为，从而判断①正确；弦分别求出抛物线与轴的两个交点坐标分别为，设对称轴与轴交于点，连接，由顶点为，得，从而得，进而得是等腰直角三角形，故②正确；当时，抛物线与轴的一个交点坐标为，由对称轴，得另一个交点坐标为，故③错误；由抛物线的性质可判断④正确．
【详解】解：①∵当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∴，故①正确；
②当时，，
∴对称轴为，顶点为，
令得，，
解得：或，
∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
设对称轴与轴交于点，连接，如图，
∵顶点为，
，
∵轴，
，
，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
③当时，抛物线与轴的一个交点坐标为，
∵对称轴，
∴另一个交点坐标为，
∴，故③错误；
④∵抛物线上有两点和，若，且，
，即，
∴到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴．故④正确．
故选D．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的特点，根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均为原坐标的横坐标、纵坐标的相反数即可求解，掌握关于原点对称点的特点是解题的关键．
【详解】解：根据题意，点绕原点旋转后的得到点，即关于原点对称，
∴.
10．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项．
【详解】解：设二次函数解析式为．
∵二次函数有最小值，
∴．
∵图象经过点，
∴当时，，即．
取，，则解析式为．
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可．
【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得，
方程的解为.
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质可知，，，，，，所以，，由三角形内角和可得，，所以，再由三角形内角和定理可知，．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．【正确答案】6
【分析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长．
【详解】解：，都是圆的切线，
，
同理，，
的周长，
.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．假设平均每天的票房增长率为，由题意可知，4月4日的单日票房达到1.2亿，则5日的单日票房为亿，6日的单日票房为亿，再根据总票房3.78亿元列方程即可．
【详解】解：假设平均每天的票房增长率为，
则.
15．【正确答案】/
【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的性质以及旋转的性质是解题关键．先求出半圆的面积，由旋转的性质可知，，结合等边对等角的性质，得出，从而求出的面积和，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
半圆的直径为4，
半圆的面积为，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
扇形的面积为，，
图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积
16．【正确答案】/；/
【分析】利用勾股定理得到，再结合直角三角形的斜边中线，得到，根据题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求出的最大值；连接、，延长至点，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、，根据三角形中位线定理，得到，结合旋转的性质，证明，得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求出的最小值．
【详解】解：如图，连接、，
在等腰直角三角形中，，
，
是边的中点，
，
是平面内一动点，且与点之间的距离为2，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
的最大值为；
延长至点，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、，
是的中位线，
，
由旋转的性质可知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
，
当、、三点共线时，最小，最小值为，
的最小值为.
17．【正确答案】，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．利用公式法解方程即可．
【详解】解：，
其中，，，，
，
，
解得：，
18．【正确答案】（1）见详解
（2）①；②；③；④圆内接四边形对角互补；⑤等弧所对的圆周角相等．
【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线和相等线段，以及垂直平分线的性质，圆的内接四边形，圆周角，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）根据要求正确作图即可；
（2）连接．根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，填写①②空；根据圆内接四边形对角互补，填写③④空；根据同弧或等弧所对的圆周角相等，填写⑤空，即可得解．
【详解】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：连接．
为的垂直平分线，
①②，
，
又四边形为圆的内接四边形，
③，（④圆内接四边形对角互补）
又，
，
又，
，
，（⑤等弧所对的圆周角相等）．
，
.
19．【正确答案】（1）见详解
（2）①；②或；③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据表格，描点连线作图即可；
（2）①根据二次函数图象的对称性求解即可；
②结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可；
③设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：函数图象如下图;
（2）解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线.
②由函数图象可知，点在抛物线上，
当或时，抛物线图象在直线图象上方，
即时，的取值范围是或；
③设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
则抛物线解析式为，
，
当时，有最小值为；当时，有最大值为；
的取值范围是．
20．【正确答案】的半径是5．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：设圆的半径是r，
连接，如图：
∵弦于点E，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径是5．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为.
（2）列表如下：
一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况，
小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率：．
22．【正确答案】（1）m＜；（2）m=2．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；
（2）找出m取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m的值．
【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，
∴m＜，
即m的取值范围是m＜；
（2）∵m为正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为x2﹣4x+1=0的根不是整数；
当m=2时，方程为x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数，
综上所述，m=2．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）90
（3）π
【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式．
（1）利用旋转变换的性质分别作出对应点即可；
（2）根据旋转角的定义判断即可；
（3）利用弧长公式求解．
【详解】（1）解：图形如图所示；
；
（2）解：旋转角为．
（3）解：点C所经过的路径长为.
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，勾股定理，掌握圆的切线的判定和性质是解题关键
（1）连接，根据等边对等角的性质，得出，，进而得出，即可证明结论；
（2）连接，过点作交于点，设的半径为，在中，利用勾股定理，求出，再根据三角形面积公式求出，再利用勾股定理，先求出，再求出，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，过点作交于点，
设的半径为，则，
，
，，
在中，，
,
解得：，
，，
，
，
在中，，
，
在中，．
25．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）雷波洛射出的箭不能掉进了圣火台里，理由见详解．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据抛物线的对称性求解即可；
（2）根据表格描线、连线即可；
（3）设抛物线顶点式，利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时的值，再根据题意得出点火区域的距离的取值，比较即可得解．
【详解】（1）解：由抛物线的对称性可得；
（2）解：如图即为所求作；
（3）解：雷波洛射出的箭不能掉进了圣火台里，理由如下：
由表格可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得：或，
火炬塔米远、20米高，火炬塔上面的圣火台的点火区域是一个边长为4米的正方形，
点火区域的距离，即，
，，
雷波洛射出的箭不能掉进了圣火台里．
26．【正确答案】（1）；
（2）①；②
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法、两点间的距离公式、二次函数的图象性质是解题的关键．
利用待定系数法进行求解即可；
①当时，抛物线解析式为，进而得到直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，根据两点间的距离公式得到和的长，从而得到的值；
②当时，抛物线解析式为，设点，进而得到直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，根据两点间的距离公式得到和的长，得到的值，根据点沿线段从点运动到点的过程中得到，结合的值始终在增大，从而得到的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线，过，，
则，
解得，
则抛物线的解析式为，
令得：，
解得或，
由于点的坐标为，
则点的坐标为；
（2）①解：当时，抛物线解析式为，
则点、，
由于直线过，两点，
则，
解得，
因此，直线的解析式为，
当时，即，代入抛物线解析式得：，
则点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点和代入得，
解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得，
则点的坐标为，
，
，
因此，；
②解：当时，抛物线解析式为，
直线的解析式为，
设点，直线的解析式为，
将点和代入得，
联立
解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得，
则点的坐标为，
，
，
因此
，
由于点沿线段从点运动到点，
则，即，
解得，
则，
函数的对称轴为，
则在上时，的值随的增大而增大，
由于点在线段上，且的值随的增大而增大，
因此，在上，的值始终在增大．
27．【正确答案】（1）见详解
（2），见详解
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，，，从而得出，，进而可得，取的中点，连接，由直角三角形的性质可得则，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证；
（2）由三角形内角和定理可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得， ，取的中点，连接，由直角三角形的性质可得则，由等边对等角得出，结合三角形外角的定义及性质可得，在上取一点使得，连接，则，证明，从而可得，由全等三角形的性质可得，，求出，由等角对等边得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵中，，，
∴，
∵将线段绕点D顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
如图，取的中点，连接，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵中，，，
∴，
∵将线段绕点D顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
如图，取的中点，连接，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
在上取一点使得，连接，则，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）；
（2）或；
（3）或．
【分析】（1）根据题中“镜像弦”的定义即可画图得出；
（2）根据“镜像弦”的性质，结合圆的弦长和点的坐标来，证出为等边三角形，进而根据等边三角形的性质和对称性确定点的坐标；
（3）先求出圆心关于直线的对称点，再根据“镜像弦”的定义巧妙添加辅助线，利用含角的直角三角形的特殊性质，用含有的式子表示出对应点的坐标，构造直角三角形，最后，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：作图可知，关于直线对称线段在上；
（2）∵是关于直线的“镜像弦”，且，
∴设关于直线的对称图形为，则，是的一条弦．
∵直线过圆心，
∴关于直线的对称图形为其本身．
∴在上．
如图，以为圆心，1为半径画圆，与的两个交点即为点，记为，，且，关于轴对称，连接，，过点作轴于点．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴．
∴，
∵，关于轴对称，
∴，
即点的坐标为或；
（3）如图，关于直线对称的点为，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，连接，过点作轴于，轴，过点作轴， 与交于点．
∵当时，，即，
当时，，解得，即，
∴．
∴．
∴．
∵，
易知，
易证，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵要使得是关于直线的“镜像弦”，
∴过点．
∴．
∵，
∴，．
在中，由勾股定理，得，
∴．
解得或．移植总数m
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数n
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率(精确到)







0
1
2
．．．
．．．
0
0
4
．．．
（单位：）
0
10
20
30
40
50
60
70
（单位：）
2
10.5
17.0
21.7
24.5
25.5
24.5