安徽省宣城市部分学校2025~2026学年上册第三次月考九年级数学试题【附解析】

这是一份安徽省宣城市部分学校2025~2026学年上册第三次月考九年级数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知锐角满足，则锐角的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，则为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡，迎水坡的坡度，则坝高的长是（ ）
A．B．C．D．
6．若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，是边上的中点，连接，过点作交于点．已知，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数与反比例函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，点是的中点，点在边上，连接，平分交于点，连接，若点是的中点，，则的长为（ ）
A．3B．C．4D．
10．如图，在正方形中，是的中点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点，连接，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知锐角满足，则 ．
12．抛物线与坐标轴的交点个数为 ．
13．如图，的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上，且，，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接．若的面积为，则的值为 ．
14．如图，在矩形中，，是边上一点，将沿折叠后展开，点的对应点恰好落在边上，连接
（1） （填“”“”或“”）；
（2）作的平分线交边于点，若，，则的长为 ．
三、解答题
15．计算：
16．在由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（格点是网格线的交点）．
(1)以点O为位似中心．在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为；
(2)若点是内一点，则点P关于位似中心O的对应点的坐标为 ．
17．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：．
18．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，
(1)求的长；
(2)求的值．
19．巢湖是位于长江中下游的中国五大淡水湖之一，因地形原因，湖泊两端，（点与点之间隔着小山）的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．如图，将无人机上升并飞行至距湖面的点处（，，三点在同一竖直平面内），从点测得点的俯角为，测得点的俯角为．请你利用所学过的知识求湖泊两端，之间的距离（精确到）．（参考数据：，，，，，）
20．某电商公司以每盒34元的价格从某工厂购进一批玩具．根据往年销售数据，当售价定为50元/盒时，平均每天可售出180盒；若售价每提高5元，每天销售量就减少15盒（价格调整为5元的整数倍）．
(1)若售价定为元/盒，则每天可售出 盒（用含的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，若该公司销售玩具时每天支出的各项人工、场地等费用共计500元，此外每盒玩具的运输损耗成本为2元，求销售价格定为多少元/盒时，该公司每天获得利润最大，最大利润是多少？
21．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)保持点位置不变，将直线逆时针转动得到新的直线，且与反比例函数的图象交于点，（点在第二象限），且点，的横坐标之和为，求点，的坐标．
22．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点．
①若点是该抛物线的对称轴上的一动点，如图1，求的最小值和此时点的坐标；
②如图2，若抛物线的顶点为，点是位于轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与探究
【初探】如图1，点，分别是平行四边形的边，的中点，连接，交于点，求的值；
【再探】如图2，点，分别是正方形的边，的中点，连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于点．求证：
（1）；
（2）．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的特殊值，解题的关键是熟知特殊角的余弦值．
根据特殊角的余弦值，由得出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：因为，且是锐角，所以，
解得．
故选：D．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征．
根据二次函数顶点式找出顶点坐标，进而判断即可．
【详解】解：抛物线的顶点为，
∵，，
∴顶点位于第二象限．
故选：B．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．
根据已知条件得到，再根据平行线分线段成比例解答．
【详解】解：∵，
∴，
即
∵在四边形中，，，
∴，
∴．
故选：C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，即面积比等于相似比的平方．
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴面积比为．
故选：C．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理．
利用坡比的定义得出，进而利用勾股定理计算即可．
【详解】解：迎水坡的坡比是，
，
解得，
，
解得：（负值舍去），
故选：A．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
计算，，的值，比较大小关系即可．
【详解】解：：，
：，
：，
因此．
故选：B．
7．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形等面积法的应用．先根据锐角三角函数的定义求出，由是边上的中点，可得，，再由勾股定理可得，利用等面积法得到的长，然后由勾股定理得到的长，从而求出的长．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
，
又是边上的中点，
，，
，
，
，
在中，
，
，
故选：．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图象的综合判断．
根据二次函数、反比例函数图象得到，，进而判断即可．
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴，
∵反比例函数的图象经过二、四象限，
∴，
∵中，
∴一次函数经过二、四象限，
∵中，
∴一次函数经过第三象限，
即一次函数经过二、三、四象限．
故选：D．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定；过作交的延长线于，连接，证明得出，，进而证明是的中位线，证明，可得是直角三角形，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于，连接，
，，
，
，
，，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
，
，
∴
∵
∴
∴是直角三角形，
，
，
，
，
，
，即，
解得．
故选：D．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，正切定义，解直角三角形等知识．设正方形边长为x，证明，由可得；由即得．
【详解】四边形是正方形，
设，
E是BC的中点，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了解直角三角形．
根据构造直角三角形，进而计算即可．
【详解】解：如图，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
故．
12．【正确答案】3
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．
求抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算与y轴的交点和与x轴的交点个数．
【详解】解：当时，，故与y轴交于点；
当时，，即，判别式，方程有两个不相等的实数根，故与x轴有两个交点；
综上，抛物线与坐标轴共有3个交点．
故3．
13．【正确答案】/
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，正切的定义，根据正切的定义，得出，先求得，根据的面积为， 得出，进而求得的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
∵
∴，即
∵反比例函数的图象经过点，在第一象限，
∴设，则
∴
解得：（负值舍去）
∴
∴，
∴
∵的面积为，
∴
∴
∵
∴
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
故．
14．【正确答案】 8
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理．
（1）根据矩形的性质与折叠的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）过点M作于点N，证明，得出，进而根据折叠的性质得出，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）四边形ABCD是矩形，
，
，
由折叠知，
，
，
，
，
，故；
（2）如图，过点M作于点N，
平分，，，
，
，，
，
，
，
由折叠知，
，
，
，
，
，
在和中，
．
设，则，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
，
．
故．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，将特殊三角函数值代入，按照实数混合运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：原式．
16．【正确答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形对应坐标．
（1）根据位似比为找出对应坐标，进而作图即可；
（2）根据位似比为作答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，相似比为，
∴点P关于位似中心O的对应点的坐标为．
故．
17．【正确答案】见解析
【分析】本题考查黄金分割点，相似三角形的判定，根据黄金分割点的定义可得，由已知推出，再结合，即可证明结论．
【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，，
，
又，，
，即，
．
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．
（1）根据锐角三角函数分别求出，即可得到的长；
（2）求出的长，根据锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】（1）解：在中，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）是的垂直平分线，
，
，
在中，
．
19．【正确答案】湖泊两端，之间的距离约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形；
过点作于点，由平行线的性质得，，，根据三角函数可得，，，因为，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，则，
由题可知，，
在中，
，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
答：湖泊两端，之间的距离约为．
20．【正确答案】(1)
(2)销售价格定为75元/盒时才能使公司获得最大利润，最大利润是3595元
【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用．
（1）根据“当售价定为50元/盒时，平均每天可售出180盒；若售价每提高5元，每天销售量就减少15盒”列代数式即可；
（2）设该公司每天的利润为元，求出与的函数关系式，根据二次函数的性质结合“价格调整为5元的整数倍”作答即可．
【详解】（1）解：当销售价格定为元/盒时，则每天可售出盒；
故；
（2）解：设该公司每天的利润为元，
则，
，，且价格调整为5元的整数倍，，，
当时，取得最大值，最大值为3595元，
答：销售价格定为75元/盒时才能使公司获得最大利润，最大利润是3595元．
21．【正确答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质．
（1）将点代入求出反比例函数解析式，将代入反比例函数解析式，求出即可；
（2）根据函数图象，得出不等式的解集即可；
（3）先求出点C的坐标为，设直线的表达式为，联立，得出，根据点，的横坐标之和为，得出，求出，再求出直线和双曲线的交点坐标即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：；
（2）解：由图象可得，的解集为：或；
（3）解：把代入得：，
∴点C的坐标为，
设直线的表达式为，
联立，
则，
整理得：，
，
解得：，
，
解得：，，
∵点在第二象限，
∴点．
22．【正确答案】(1)
(2)①的最小值，此时点的坐标为；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点和代入，得到方程组，解方程组即可；
（2）①连接，交对称轴于点，连接，此时，的值最小，由抛物线解析式可以求得、的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再把代入即可求解；
②设点的坐标为，则，可计算出，则，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，，解得或，
∵点在点的左侧，
∴点，点；
当时，，
∴点．
①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，点关于抛物线对称轴对称，
∴连接交直线于点，如图，此时的值最小，
设直线的表达式为，根据题意得，解得，
∴直线的表达式为，
∴的最小值，此时点的坐标为；
②存在点使．
∵抛物线的顶点坐标为，由①知抛物线的对称轴与直线的交点为，
∴，
∵点是位于轴上方的抛物线上一点，，
∴，
设点的坐标为，
∴，整理得，解得或，
∴点的坐标为或．
本题主要考查了二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论是解题的关键．
23．【正确答案】[初探]：；[再探]：（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
[初探]：取的中点，连接，证明是的中位线，，根据平行四边形的性质可得，，可得，根据相似三角形的性质，即可求解．
[再探]：（1）见解析；证明根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）连接，证明，进而证明，再证明，根据相似三角形的性质得出比例式，结合，等量代换，即可得证．
【详解】解：[初探]如图1，取的中点，连接，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
[再探]
（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∵正方形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵
∴，则
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．