安徽省黄山市部分学校2025~2026学年上册第三次月考九年级数学试题【附解析】

这是一份安徽省黄山市部分学校2025~2026学年上册第三次月考九年级数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）．
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．10D．11
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．9C．D．
5．若点都在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
7．某工地有一块长方形空地，长比宽多米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面（拐弯处是直角），路面的面积恰好是平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图像与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．垂直平分
C．D．直线和都是的切线
二、填空题
11．若抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴为 ．
12．如图，在中，，则 ．（填“”“”或“”）
13．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的取值范围是 ．
14．在正方形中，是其内一点，是直角三角形，，且，把绕点逆时针旋转得到，直线和直线相交于点，，．
（1）的面积 ；
（2） ．
三、解答题
15．解方程：．
16．如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数．
17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．
(1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点C1的坐标；
(2)把绕点A逆时针旋转得到对应的，画出，并写出C2的坐标．
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．
19．2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：
(1)从这15个班级中任意选取1个班级．
①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______；
(2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．
20．某电商公司以每盒34元的价格从某工厂购进一批玩具．根据往年销售数据，当售价定为50元/盒时，平均每天可售出180盒；若售价每提高5元，每天销售量就减少15盒（价格调整为5元的整数倍）．
(1)若售价定为元/盒，则每天可售出 盒（用含的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，若该公司销售玩具时每天支出的各项人工、场地等费用共计500元，此外每盒玩具的运输损耗成本为2元，求销售价格定为多少元/盒时，该公司每天获得利润最大，最大利润是多少？
21．如图，是的直径，是的切线，为切点，于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)连接与相交于点，若的半径为3，，求的长．
22．如图1，在中，，点在边上，点在延长线上，且，连接，将绕点逆时针旋转，连接，直线与直线交于点．
(1)如图2，求证：；
(2)在图2中，连接，求证：；
(3)如图3，若，，当点与点重合时，求的面积；
23．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）．
(1)若，函数图象经过点和，求函数的表达式；
(2)若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围；
(3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握等号两边都是整式、只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程是解题关键．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程需满足：整式方程、一个未知数、最高次数为2．
∴A．含有两个未知数，不符合题意；
B．含有分式，不是整式方程，不符合题意；
C．是整式方程，只含一个未知数，且最高次数为2，符合题意；
D．最高次数为1，不符合题意．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数．
【详解】解：∵两点关于原点对称时，横坐标和纵坐标都变为相反数，
∴点关于原点的对称点为
故选：D．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
∴，
∴该正多边形的边数为10，
故选：C．
4．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
先利用互余计算出，再根据旋转的性质得到，，所以，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即图中阴影部分的面积为．
故选：A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
将各点横坐标代入解析式求出相应的纵坐标进行比较即可．．
【详解】解：由题意：
，
，
，
∴，
故．
故选：B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵是上的一动点，与交于点．
∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为，
故选：A
7．【正确答案】D
【分析】本题考查列方程解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．空地的宽为米，则长为米． 铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米． 路面的面积等于整个区域面积减空地面积．
【详解】解：∵ 空地的宽为米，长为米，
∴ 空地面积平方米，
∵ 路面宽2米，四周铺设，
∴ 整个区域宽米，长米，
∴ 整个区域面积平方米，
∴ ．
故选D．
8．【正确答案】A
【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，

如图，连接，，，，
∵，，
∴，
∵点C在半圆上，
∴，
∴在上，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，
∴阴影部分的面积为：，
∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：，
故选：A．
本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积．
9．【正确答案】C
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图像的性质，掌握一次函数图像与比例系数、常数项的关系，二次函数图像与二次项系数、一次项系数、常数项的关系是关键．
根据一次函数图像所在象限判定的符号，从而得到二次函数图像的开口，对称轴的位置，由此即可求解．
【详解】解：A、一次函数的图像经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，则，即，
∴二次函数中，，图像开口向上，对称轴直线在轴右侧，故该选项不符合题意；
B、一次函数的图像经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，则，即，
∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴左侧，故该选项不符合题意；
C、一次函数的图像经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，则，即，
∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴右侧，故该选项符合题意；
D、一次函数的图像经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，则，即，
∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴左侧，故该选项不符合题意；
故选：C．
10．【正确答案】C
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，切线的判定等知识，理解图示，掌握圆的基础知识是关键．
根据圆周角定理可判定A选项；根据题意得到，即可判定B选项；假设正确，结合角度的关系及题意可判定C选项；根据切线的判定，角度的和差转换可判定D选项．
【详解】解：点是中点，
，
，
，
垂直平分，故B正确，不符合题意；
，，
，
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
，
，
都是的半径，，
直线和都是的切线，故D不符合题意；
假设正确，则，
，
，无法得证，
，不正确．
故选：C．
11．【正确答案】直线
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，抛物线与轴的交点关于对称轴对称，因此对称轴为两交点横坐标的中点，即可求解．
【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为 和，
对称轴为直线 ．
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，垂直平分线的性质，弦、弧的关系，合理作出辅助线是关键．
如图所示，连接，作交于点，交于点，由垂径定理得到是线段的垂直平分线，由弦、弧的关系等量代换，结合三角形三边数量关系即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点，
∴，且，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
故．
13．【正确答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，一元一次不等式（组）的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．通过因式分解一元二次方程，得到两根，再根据条件列不等式求解
【详解】解：方程（）
，
或，
，（因，故）．
由条件，
得且，
解得．
故答案为．
14．【正确答案】 84
【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形，勾股定理等知识，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
根据题意可证四边形是正方形，设，在中，，结合题意得到，由三角形面积公式得到的面积；如图，过点作交的延长线于点，可证，可得，由勾股定理即可求解的值．
【详解】解：（1），
，
由旋转可知，，
，
四边形是正方形，
，
，
设，在中，，
即，
解得，
∴，则或，则，
又，
，
的面积；
（2）由（1）可知，，，
如图，过点作交的延长线于点，
，
，在和中，
，
，
，
∴，
，
；
故①；②．
15．【正确答案】，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
先把方程化成一般式，再运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
16．【正确答案】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
17．【正确答案】(1)，图见解析
(2)，图见解析
【分析】本题考查旋转变换作图，轴对称的性质，解题的关键是根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）分别作出的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形；
（2）以点A为旋转中心，把逆时针旋转，即可得到．
【详解】（1）解：如图；
∵点C的坐标为
∴点的坐标为
（2）如图；
∵把绕点A逆时针旋转得到对应的
∴点的坐标为．
18．【正确答案】(1)且
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程中，根的判别式和韦达定理，解题的关键是掌握根的判别式和韦达定理的公式．
（1）因为是一元二次方程，所以；有实数根，则，解出不等式，求出的取值范围即可；
（2）应用韦达定理，表示出，，代入条件，求出值，同时记得检验．
【详解】（1）根据题意，一元二次方程有实数根，
则且，
即
∴且，
故的取值范围是且．
（2）由题意得，，
，
，
解得，经检验，符合题意．
故．
19．【正确答案】(1)①随机；②5，3
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可；
②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件；
②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，
∴，
∴，
故①随机；②5，3；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
20．【正确答案】(1)
(2)销售价格定为75元/盒时才能使公司获得最大利润，最大利润是3595元
【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用．
（1）根据“当售价定为50元/盒时，平均每天可售出180盒；若售价每提高5元，每天销售量就减少15盒”列代数式即可；
（2）设该公司每天的利润为元，求出与的函数关系式，根据二次函数的性质结合“价格调整为5元的整数倍”作答即可．
【详解】（1）解：当销售价格定为元/盒时，则每天可售出盒；
故；
（2）解：设该公司每天的利润为元，
则，
，，且价格调整为5元的整数倍，，，
当时，取得最大值，最大值为3595元，
答：销售价格定为75元/盒时才能使公司获得最大利润，最大利润是3595元．
21．【正确答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，则，而，所以，则；
（2）由，且，，得，求得，则，．
【详解】（1）证明：连接，
则，
，
与相切于点，
，
，
于点，
，
∵，
，
∵，
，
．
（2）解：的半径为3，
，
，且，，
，
解得，
，
．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．【正确答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，得出．
（2）在上截取，连接，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论；
（3）由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，如图，过作于，由三角形面积可得出答案；设，则，得出，则由勾股定理求出的长，由三角形面积可得出答案．
【详解】（1）证明：，
．
即．
在和中
．
．
（2）证明：如图，在上截取，连接．
由（1）得，，
．
在和中
，
．
．
即．
是等腰直角三角形．
根据勾股定理得，，
．
，
．
．
（3）解：由（1）得，，
．
，
．
．
．
．
根据勾股定理得，．
同理，，
．
设，则．
由（1）得，
，
在Rt中，，
，
解得（舍去），
．
如图2，过作于．
，
．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．【正确答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（2）当时，可求抛物线的对称轴为直线，然后分在对称轴的左侧和右侧讨论，根据二次函数的性质求解即可；
（3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∴，
综上，；
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，
∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当时，取最小值，
∵，
∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴
∴，
∴的值为1．
跑步量达标率
班数
7