安徽省淮北市五校联考2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份安徽省淮北市五校联考2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在北京隆重举行．九三阅兵的核心意义在于铭记历史、缅怀先烈、展示国防实力、弘扬抗战精神，并传递中国维护世界和平的坚定决心．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设的半径为4，圆心O的坐标为，点P的坐标是，则点P与圆的位置关系是（ ）．
A．点P在外B．点P在上C．点P在内D．点P在内或上
3．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为（ ）
A．B．C．D．
4．周末彤彤和父母在某处游览时，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解化石的长度，但没有测量工具，于是她把自己的笔放在化石旁，并拍下了照片（如图所示），回家后，她量得照片上笔和化石的长度分别为和．已知笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ）
A．B．C．D．
5．点经过某种图形变换后得到点这种图形变换可以是( )
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．绕原点逆时针旋转D．绕原点顺时针旋转
6．点关于轴的对称点为点，点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转至的位置，点为的中点，若，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．在中，均为锐角，且满足，则 ．
12．江南水乡苏州现存100多座石拱桥，已知（如图）一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，则水面宽 ．
13．如图，点为直线上一点，过作的垂线交双曲线于点，若，则的值为 ．
14．如图，在中，，，延长至点，使，连接，．
（1）点到的距离为 ．
（2）的度数为 ．
三、解答题
15．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为．请以点为位似中心，画出与的相似比为的所有位似图形．
16．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集为______；
18．如图，在中，，是边上的一个动点（不与点重合），连接，，且，连接交于点，连接．
求证：
（1）；
（2）．
19．2025年国庆期间，某商家推出两款文旅纪念品．已知款纪念品进价40元/个，款纪念品进价20元/个．
（1）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元购进两款纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？
（2）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值．
20．已知：和都是等腰直角三角形，．
（1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
21．如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动．
（1）设运动时间为时，则___________，___________．
（2）当为何值时，的面积为．
（3）求四边形面积的最小值．
22．如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到）
（1）若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由．
（2）若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点移动多少米？
（3）求大楼的高．
23．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接．
（1）求证：平分．
（2）如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数．
（3）如图2，当时，求的长．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题关键．根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转后与原图重合，作答即可．
【详解】解：选项的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选C．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形的性质，解题的关键是熟悉半径与两点之间的线段长及点与圆的位置关系．
求得线段的长后与圆的半径比较即可得到答案．
【详解】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标是，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴点P在外．
故选A．
3．【正确答案】B
【分析】本题主要考查坡比解直角三角形的运用，坡度表示垂直高度与水平距离之比，设上升高度为h，则水平距离为，利用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：∵一条上山直道的坡度为，
∴设上升的高度为，则水平距离为，
∵斜边长为，
∴由勾股定理，得+=，
即，
化简得，，
∴，
∴每前进所上升的高度为，
故选B．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解．
【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意，
，
解得：．
故选D．
5．【正确答案】A
【分析】直接利用利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【详解】∵点（4，3）经过某种图形变化后得到点B（4，-3），
∴这种图形变化可以是关于x轴对称．
故选A．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，关于x轴对称的点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，先计算点P坐标 求其关于x轴对称点Q，再将Q绕原点顺时针旋转，利用全等得点R坐标．
【详解】解：∵， ，
∴ ，
∵点关于轴的对称点为点，
∴，
∵点绕原点按顺时针方向旋转后的对应点为点，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选C．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意；
当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意；
当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意；
故选B ．
8．【正确答案】C
【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得的长，然后根据等积法求得的长，然后根据正弦函数的定义即可得到的值．
【详解】解：如图，作于点, 作于点，
由已知可得，，
，
，
．
故选C．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线的性质、相似三角形的性质及判定，关键是知识点的灵活应用；
由中点可知，又由于为的中点，可得，进而根据三角形相似可得．
【详解】解：∵是的中位线，
∴且，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案选：B．
10．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质．
先利用直角三角形性质求出的长度，再根据旋转性质和直角三角形斜边中线性质确定的长度，再利用三角形三边关系计算的最大值和最小值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，；
∵绕点旋转得到，
∴，；
∵点是的中点，
∴，
根据三角形的三边关系可得，
∴的最大值为，
的最小值为．
故选B．
11．【正确答案】/度
【分析】本题主要考查三角函数的计算，偶次幂、绝对值的非负性，利用非负数的性质，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求．
【详解】解：∵ ，，且它们的和为0，
∴ ，，
即 ，，
∵ 均为锐角，
∴ ，
∴ ．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，则，由垂径定理可得，求出，再利用勾股定理计算出，即可得解，熟练掌握垂径定理及勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，则，
，，
，
，
，
.
13．【正确答案】
【分析】延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据题意可得和均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，，进而可得到，结合，可得，所以点的横纵坐标之积为，即得的值．
【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
点为直线上的一点，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
．
，
，
整理得，，即，
，
，
设点坐标为，
，
∴，
．
14．【正确答案】；75°
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，三角形的外角性质，熟练根据特殊角构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，利用，即可求出；
（2）连接，证明，可得，再证明，再证明，则为等腰直角三角形，，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴.
（2）连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则为等腰直角三角形，，
∴.
15．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】解：如图，即为所作．
16．【正确答案】树高为8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：和均为直角，
．
,
．
，，，
．
．
答：树高为8米．
17．【正确答案】（1），
（2）或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
在中，当时，，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或．
∴不等式的解集为或．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理，解题的关键是利用全等性质和相似三角形的性质解答．
（1）利用“边角边”即可证明；
（2）根据题意可得，再证明，可得，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
19．【正确答案】（1）至少需要购进款纪念品200个；
（2），最大值为4500．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可；
（2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴的最小值为200，
答：至少需要购进款纪念品200个；
（2）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即当时，最大，最大值为4500．
20．【正确答案】（1），
（2）（1）中的结论还成立，理由见详解
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，；再利用线段的和差可得；
（2）运用等腰直角三角形的性质证明可得、；如图：设与、分别交与O，F，结合运用三角形内角和定理可得，即．
【详解】（1）解：，，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，．
∴，，
∴，即．
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，．
∴，即，
∴，
∴，，
如图：设与、分别交于O，F，
∵，
∴，即．
21．【正确答案】（1），
（2）当或时，的面积为
（3）当时，四边形面积的最小值，最小面积为
【分析】本题主要考查勾股定理，动点的计算，二次函数图象的性质，一元二次方程的应用，理解图示中动点的运用，二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到，根据点的运动，线段长度的计算即可求解；
（2）结合（1）的计算，根据面积公式计算即可；
（3）根据题意，，，则，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，
设运动时间为，
∴，，
∴.
（2）解：根据题意，点从的时间为，点从的时间为，
由面积公式得，，
整理得，，
解得，，
∴当或时，的面积为；
（3）解：，，
∴
，
∵，
∴当时，四边形面积的最小值，最小面积为．
22．【正确答案】（1）飞机在可控范围内，理由见详解
（2）李亮最多可由点向点的方向移动
（3）大楼的高约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于点.利用三角函数解求出，即可做出判断；
（2）设李亮由点移动到点时无人机刚好在可控范围内，则，用勾股定理解，进而求出即可；
（3）过点作于点.利用三角函数解，即可求解．
【详解】（1）解： 此时飞机在可控范围内，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
在中，
∵，
∴，
.
∵，
∴此时飞机在可控范围内；
（2）解： 设李亮由点移动到点时无人机刚好在可控范围内，则，
在中，
，
在中，
∵，
∴，
∴；
答：若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点的方向移动；
（3）解： 如图，过点作于点.
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
答：大楼的高约为.
23．【正确答案】（1）见详解；
（2）圆心角为；
（3）
【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点．
（1）证明即可；
（2）由等腰三角形可得，而，可求，再由三角形内角和定理可得；
（3）连接，由垂径定理得，然后由线段的垂直平分线性质可得，继而可证明是等边三角形，求出，在中，运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点都在上，
∴，
在和中，
∴
∴
即平分；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴所对应的圆心角为；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．