安徽省淮北市部分学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题【附解析】

这是一份安徽省淮北市部分学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题【附解析】，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．2B．C．1D．
2．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．若三点都在反比例函数的图象上，其中，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，为了测量河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则（ ）
A．B．C．D．
8．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量的取值范围为（ ）
A．B．或C．D．或
9．如图，在边长为的正方形网格中，与相交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，，已知，分别是，边上的点，且，．动点从点沿运动到点，过点作于点于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．如果为锐角，且，那么 ．
13．如图，直线交于点.若，则的值为 ．
14．如图，是矩形的对角线．
（1） ；
（2）点分别在边上，连接，分别交于点，且．若，则 ．
三、解答题
15．已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
16．已知：在中，，，，解这个直角三角形．
17．如图，在和中，，且，求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按的相似比放大后的位似图形；
（3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出关于的不等式的解集；
（3）连接，求的面积．
20．如图，在中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
21．如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌（米）．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．
22．在中，，点分别是和边上的点，连接，，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）若于点．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，若，，求的值．
23．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A与点B，抛物线经过点A、B，在线段上有一动点，点D不与点O，A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线于点C，交抛物线于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点C是的中点时，求m的值；
（3）过点E作，垂足为点F，当点E坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
利用 即可得出结果．
【详解】解：．
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．
反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
解得．
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】解：如图，连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是．
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．
按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：原抛物线向左平移2个单位得，再向下平移3个单位得．
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
，
∴，在第二象限，随的增大而增大，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：在中，
，，，
A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意；
B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；
C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；
D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；
故选A．
7．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
如图：在中，同时可知，根据正切函数的定义求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，即，
∴．
故选A．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据函数的对称性，抛物线和x轴的另一个交点坐标为，再观察函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可知，对称轴为直线，
根据函数的对称性，抛物线和x轴的另一个交点坐标为，
由图象可知，当时自变量x的取值范围为，
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，平行线的性质，勾股定理及逆定理，取格点，连接，，由网格可知，，，从而可得，利用余弦的定义即可求解，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，取格点，连接，，
由网格可知：，，，
∴，，
∴，
∴，
故选．
10．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据点的变化列出函数解析式是解题的关键．
结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可解答．
【详解】解：，
，
∵四边形是正方形，
．
又，
，
；
①如图1：当时，点在线段上，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
∴关于的函数图象是过点且开口向下的抛物线；
②当时，点在线段上，
如图2，此时点和点重合，，
，
，
关于的函数图象是一条下降的直线．
综上，关于的函数图象大致为选项A．
故选A．
11．【正确答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．直接利用对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解： 抛物线的对称轴是直线.
12．【正确答案】0.619
【分析】本题考查的知识点是锐角三角函数，解题关键是熟记三角函数关系．
根据可得到结果
【详解】解：如图，中，设，
则
∴，
故答案为0.619．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合已知数据即可求出结论．
【详解】解：∵，，
∴.
14．【正确答案】1；
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、解直角三角形、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和勾股定理可得，再结合正弦的定义即可解答；
（2）先根据勾股定理、平行线等分线段定理可得；再根据勾股定理、正切的定义可得，进而得到、， 再根据平行线等分线段定理可得，进而完成解答．
【详解】解：（1）∵是矩形的对角线，
∴，
∴．
（2）在中：．
，
，
．
在中，．
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
．
15．【正确答案】顶点坐标为，对称轴为直线
【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标和对称轴、二次函数的性质等知识点，将抛物线解析式化成顶点式是解题的关键．
先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：
该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
16．【正确答案】，，
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，先求出，得出，再求出，根据直角三角形的性质得出．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，．
17．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，证得是解题的关键．
先证明可得，再根据三角形外角的性质以及等量代换即可解答．
【详解】证明：，
，
，
，即，
，
，
又，
，
∵，
．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【分析】本题主要考查了轴对称作图、位似变换、矩形的性质、中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先利用关于x轴对称点的性质确定的对应点，然后顺次连接即可；
（2）先利用位似图形的性质确定的对应点，然后顺次连接即可；
（3）取格点M、N，连接与相交于点D，则即为所求作的中线．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：如图，为所作．
（3）解：如图，为所作．
证明：如图：四边形是矩形，、是对角线且相交于点D，
所以，点D为的中点，即是的中线．
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）6
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积、根据函数图象解不等式、一次函数与坐标轴的交点坐标等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）将点代入得，即，再将代入反比例函数解析式求得k的值即可解答；
（2）根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于x的不等式 x的解集即可；
（3）求出一次函数与x轴交点C的坐标为，则；再结合坐标系和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：把代入一次函数得：，
点A的坐标为．
把点的坐标代入，得，解得∶，
反比例函数的表达式为．
（2）解：把代入一次函数得：，
∴
∴一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴由函数图象可得：不等式的解集为．
（3）解：当时，，解得，即，
又点的坐标为，
．
20．【正确答案】（1）7
（2）
【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识点，熟知锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出，解直角三角形求出，再运用线段的和差即可解答；
（2）根据三角形中线的定义求出，进而求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
，
在中，由勾股定理得：．
在中，，
，解得，
．
（2）解：是边上的中线，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
21．【正确答案】标语牌底部点到地面的距离的长为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解三角函数是解题关键．延长交于点，则米，在中，利用正切值得出，设米，则米，米，在中，利用正切值列方程，求出，即可得解．
【详解】解：如图，延长交于点，则米，
由题意可知，米，，，米，
在中，，
，
设米，
米，米，
在中，，
,
解得：，
经检验，是原方程的解，
米，
答：标语牌底部点到地面的距离的长为米．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）
【分析】（1）先证明可得，再证明是等腰直角三角形，进而证明结论；
（2）（ⅰ）如图，过点作交的延长线于点，则．先证明可得；再证明，则，进而证明结论；
（ⅱ）先证明则、；易证是等腰直角三角形．由勾股定理可得．设，则，．证明可得，结合（ⅰ）可得，进而求得，即，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
．
（2）解：（ⅰ）证明：如图，过点作交的延长线于点，则．
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
（ⅱ）解：，
．
，，
，
是等腰直角三角形．
在中，．
设，则，
．
，
．
由（ⅰ）知，
，即，整理得：，
解得：或（舍去），
，
．
23．【正确答案】（1）；
（2）；
（3）当点E的坐标为时，线段的长最大，最大值为；
【分析】（）先由求出，，然后代入求出的值即可；
（）先求出，，根据中点坐标可得，则有，然后求出的值即可；
（）先证明，则，再求出，，，再由勾股定理得出，再代入，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标．
【详解】（1）解：由得，当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵，
当时，，，
∴，，
∵点是的中点时，
∴，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点不与点，重合，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴．项目名称
测量学校教学楼标语牌的底部点D到地面的距离
测量工具
测角仪、皮尺等
方案示意图
（图中点在同一平面内）
测量数据
【数据一】标语长为3米（即米）；
【数据二】测角仪支架高米；
【数据三】小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为；
【数据四】小红在处测得标语牌顶部点的仰角为；
【数据五】小明与小红相距5米，
解决问题
依据他们测量的数据，求出标语牌底部点到地面的距离的长．
参考数据
（，，）