安徽省合肥市重点学校2024届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份安徽省合肥市重点学校2024届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
2. 已知，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 平面直角坐标系中，点在同一反比例函数图像上的是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）

A. B. C. D.
5. 将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（ ）
A. y＝﹣2B. y＝2C. y＝﹣3D. y＝3
6. 已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，若，面积为18，则面积等于（ ）

A. 8B. 10C. 12D. 14
8. 在平面直角坐标系中，若函数的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
9. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G．若，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线：与轴和轴分别相交于、两点，平行于直线直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴和轴分别相交于、两点，运动时间为秒（）．以为斜边作等腰直角（、两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11. 若，则＝_____．
12. 如图，，，，则______．
13. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点同时落在一个反比例函数图像上时，__________．
14. 如图，中，，，点D、E分别是、的中点，于点F．
（1）__________．
（2）连接DF，则__________．
三、解答题（本大题共2题，每小题8分，共16分）
15. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，并写出点的坐标；
（2）在网格内画出，使与相似，且相似比为．
16. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
（1）求密度关于体积V的函数解析式；
（2）若，求二氧化碳密度的变化范围．
四、解答题（本大题共2题，每小题8分，共16分）
17. 已知，，，是的三边，且，，求的面积．
18. 如图，已知中，分别为边上的高，过作的垂线交于，交于，交延长线于，求证：．
五、解答题（本大题共2题，每小题10分，共20分）
19. 已知二次函数.
（1）求证：无论k取任何实数，该函数图像与x轴总有交点；
（2）若图像与x轴仅有一个交点，当时，求y的取值范围.
20. 如图，直线（常数）与双曲线（为常数）相交于，两点．

（1）求直线的解析式；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
六、（本大题共1题，共12分）
21. 2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的倍，且第二批比第一批多购进25个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
七、（本大题共1题，共12分）
22. 点E线段上一点，分别以，为底边，在同侧作等腰三角形和，且．连接，过点作交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求的长．
八、（本大题共1题，共14分）
23. 在二次函数中．
（1）若它的图象过点，则的值为多少？
（2）当时，的最小值为，求的值；
（3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且，直接写出的取值范围．
答案
1. 解析：解：抛物线的对称轴是直线．
故选：A．
2. 解析：解：A选项，由得，不合题意；
B选项，由得，不合题意；
C选项，由得，不合题意；
D选项，由得，符合题意，故本选项正确；
故选D．
3. 解析：解：A、由于，该选项错误，不符合题意；
B、由于，该选项错误，不符合题意；
C、由于，该选项正确，符合题意；
D、由于，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 解析：解：由黄金分割比，根据题意可得，
，
，
故选：A．
5. 解析：将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得图象的函数表达式是y＝﹣（x+4﹣2）2+1﹣3，
即y＝﹣（x+2）2﹣2，
所以其顶点坐标是（﹣2，﹣2），
由于该函数图象开口方向向下，
所以，所得函数的最大值是﹣2．
故选：A．
6. 解析：解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
7. 解析：解：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8. 解析：解：∵函数与坐标轴有3个交点
∴此函数为二次函数
∴k-2≠0
∴k≠2
∵与y轴必有一个交点
∴与x轴有两个交点
∴△＞0
∴（-2k）2-4k（k-2）＞0
∴k＞0
∴k可以为1
故选C．
9. 解析：解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
故选：D．
10. 解析：解：对于直线，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
①当时，如图1，

∴
又是等腰直角三角形，
∴
∴
又
∴
∴
即：；
②当时，如图2，

同理可得：均为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴，
即，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故选：C．
11. 解析：解：设，则x＝2k，y＝5k，z＝4k，
则＝＝；
故答案为：．
12. 解析：解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 解析：解：过作轴，过作轴，如图所示：
在中，，，则，
在中，，则， ，
，，
，
在中，，，则，，
设，则，则，解得，
，
点落在一个反比例函数图像上，
．
14. 解析：解：（1）由题意可得：，
在中，，
由题意可得：，
解得，
在中，，
（2）连接交于点、连接，如图：
∵点D、E分别是、的中点，，，
∴，，，
∴，
，
，，，，
，
由题意可得：，
又，，
，
，
又，
∴，
，即，
又，
∴，
，即，
解得，
∴，
故答案为：，．
15. 小问1解析
解：图中即为所求作，

由图可知，坐标为；
小问2解析
、、，
，，
与相似比为，
，
，
图中即为所求作．

16. 小问1解析
解：∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
小问2解析
解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
17. 解析：解：设，
∴，，，
又∵，
∴，
∴
∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为．
18. 解析：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
19. 小问1解析
解：令，则，
，
无论k取任何实数，方程总有实数根，
无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；
小问2解析
解：该函数的图象与x轴只有一个交点，
解：，
.
该二次函数开口向上，对称轴为
当，函数取得最小值0；当时，函数取得最大值4
y的取值范围为.
20. 小问1解析
解：直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点，将点代入反比例函数，得，
∴，
将点代入，得，
将，代入，得，解得，
∴；
小问2解析
解：∵，，
∴反比例函数在第二四象限，
根据反比例函数图像与性质，在每个象限内，随的增大而增大，
∴在同一象限内，当时，；在不同象限内，当时，由图像可得，
综上所述，当或时，；当时，；
小问3解析
解：关于的不等式的解集可以转化为图像在图像上方部分对应的的范围，如图所示：

直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点，
或．
21. 小问1解析
解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x元，
根据题意得
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
答：第二批每个挂件进价是每个40元；
小问2解析
设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，
∵每周最多能卖90个，
∴ ，
解得，
根据题意得，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，W取最大，此时．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
22. 小问1解析
证明：和是分别以，为底边的等腰三角形，
，，，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，，
，
．
小问2解析
解：，
，
，
，
，
由（1）知：四边形是平行四边形，
，，
和是等腰三角形，，，
，，，
，
即，
，解得，
∴，
，
，
，即，
．
23. 小问1解析
将代入中，
得，
解得；
小问2解析
抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
则，
解得．
∵，
∴，
若，当时，函数值最小，
∴，
解得（不合题意，舍去）
综上所述，．
小问3解析
∵，关于对称轴对称 ，
∴，则，且在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线，
∴此交点关于对称轴的对称点为
，且，
,
解得，
当都在对称轴左边时，
∵ ，
∴，
解得，
∴，
当分别在对称轴两侧时，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，
解得，
∴，
综上所述，或．