北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷（第Ⅱ卷）（原卷版+解析版）

这是一份北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷（第Ⅱ卷）（原卷版+解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：数学第卷共三道大题，8道小题，共3页，满分50分，
总计考试时间120分钟：请在密封线内填写个人信息．
第II卷（共8道题，满分50分）
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 已知向量，且与方向相反，则实数的值为（ ）
A. -1或B. 1或C. 1D.
2. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）

A. B. C. D.
3. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
4. 已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论：
①
②
③的最小值为3
④最大值为18
其中正确结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
5. 早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下：
输入“人”后，下一个字输出“大”概率为___________；
输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为___________．
6. 利用你掌握的研究函数的思路与方法，研究函数，并直接写出下列结论：
定义域：___________：
值域：___________；
奇偶性：___________：
单调性：___________；
零点个数：___________．
7. 已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________．
①对于任意；
②存在，使得；
③时，等腰直角三角形；
④的最大值是．
三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
8. 设集合，若存在函数，满足：
①值域为：
②时恒有，则称集合对是函数相关的．若函数是指数函数，则称指数相关，若是对数函数，则称对数相关．
（1），分别判断否指数相关和对数相关：
（2）若既指数相关又对数相关，求值；
（3）若既是指数相关又是对数相关，直接写出的最大值以及对应的一组指数函数和对数函数．
2025~2026学年度第一学期高一年级期末练习
数学
说明：数学第卷共三道大题，8道小题，共3页，满分50分，
总计考试时间120分钟：请在密封线内填写个人信息．
第II卷（共8道题，满分50分）
一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 已知向量，且与方向相反，则实数的值为（ ）
A. -1或B. 1或C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可.
【详解】因为 ，
所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反，
所以存实数 使 ，
即，
又因为向量 不共线，
所以，整理得 ，
解得 或 ，
又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 .
故选：D.
2. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出.
【详解】记小球落入袋中的概率，
记小球落入袋中的概率，
则，
小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，
，.
故选：C.
3. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由求出集合，分，和三种情况求出集合，结合，即可得出答案.
【详解】由，得，即，解得或，
所以或，
当时，或，
由，得，解得；
当时，或，
由，得；
当时，，满足，
综上所述实数的取值范围是或，
故选：A.
4. 已知的重心为，若其所在平面内有4个不同点满足给出下列四个结论：
①
②
③的最小值为3
④最大值为18
其中正确结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】对于①，设的中点为，由的重心为，得到，从而得到，从而得解；对于②，利用向量的加法求出，由得到，从而得到；对于③，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小，从而得到的最小值，从而得解；对于④，由，得到点在以为圆心，半径的圆上，当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大，求出的最大值，从而得解.
【详解】对于①，设的中点为，
的重心为，
，，
，
，
，故①正确；

对于②，
，
，
，，
，，故②错误；

对于③，，
点在以为圆心，半径的圆上，
当所有点共线且在同侧时，相邻点距离最小，
即，
的最小值为，故③正确；
对于④，，
点在以为圆心，半径的圆上，
当点共线且交替在的两侧时，相邻点的距离最大，
且最大为，
的最大值为，故④错误.
故选：B.
二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
5. 早期的生成式人工智能原理是“单字接龙”，人工智能模型会进行“算法预测”．例如输入“白日”之后，系统会检索文本库中包含“白日”的词语或短句，假设文本库中包含“白日”的词语或短句只有“白日梦”和“白日依山尽”，且二者在文本库中出现的频率为0.8和0.2，则模型下一个字输出“梦”和“依”的概率分别为0.8和0.2，依此类推生成下一个汉字．假设有一个简化的人工智能模型，仅能生成四个汉字，生成每个汉字之前都需要对前面的所有汉字进行“算法预测”，并且每一步判断是相互独立的．该人工智能模型的文本库如下：
输入“人”后，下一个字输出“大”的概率为___________；
输入“人”后，最终输出结果为“人大附中”的概率为___________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式求解
【详解】文本库中包含“人”的所有短语为：
人大附小、人民英雄、人大附中集团校、人大附中、人才济济、人大代表、人民大学、人大附幼儿园、地灵人杰、学为人师、助人为乐、人大附中东门
统计“人”之后的第一个字：
大（出现于：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门，共6次）
民（出现于：人民英雄、人民大学，共2次）
才（出现于：人才济济，共1次）
杰（出现于：地灵人杰，共1次）
师（出现于：学为人师，共1次）
为（出现于：助人为乐，共1次）
总样本数
输出“大”的概率 ；
生成“人大附中”需要依次满足：
（1）. 输入“人”→“大”：概率
（2）. 输入“人大”→“附”：文本库中以“人大”开头的短语为：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大代表、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共6条，其中“人大”后接“附”的有：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共5条，概率 = ，
（3）. 输入“人大附”→“中”：文本库中以“人大附”开头的短语为：人大附小、人大附中集团校、人大附中、人大附幼儿园、人大附中东门 → 共5条，其中“人大附”后接“中”的有：人大附中集团校、人大附中、人大附中东门 → 共3条，概率 =35，
三步独立事件，总概率 ；
故答案为：
6. 利用你掌握的研究函数的思路与方法，研究函数，并直接写出下列结论：
定义域：___________：
值域：___________；
奇偶性：___________：
单调性：___________；
零点个数：___________．
【答案】 ①. R ②. ③. 偶函数 ④. 在上单调递增，在上单调递减 ⑤. 2
【解析】
【分析】利用对数型复合函数有意义求出定义域；利用奇偶性定义确定奇偶性；借助对勾函数、对数函数、二次函数单调性求出单调区间；求出函数的最小值确定值域；利用零点存在性定理，结合偶函数性质可得零点个数.
【详解】函数的定义域为R；
，
，是偶函数；
当时，令，函数在上单调递增，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，又在上单调递增，
因此函数在上单调递增，在上单调递减；
，当时，，当时，，
因此函数的值域为；
，，又在上单调递增，
则存在，使得，函数在上有唯一零点，
由偶函数的性质知，函数在上有唯一零点，因此函数有2个零点.
故答案为：R；；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；2
7. 已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为___________．
①对于任意；
②存在，使得；
③时，是等腰直角三角形；
④的最大值是．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用向量的线性运算和三角形外接圆的性质，结合均值不等式和正弦定理等的相关知识，对每个说法逐一分析.
【详解】因为为的外接圆圆心，
所以（为外接圆半径），
又，所以，
即，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
展开并整理得：，
对于①，当时，，此时或，
因此存在，故①错误；
对于②④，因
所以（当且仅当时取得等号），
所以，
解得，或，
所以存在，使得，故②正确，④错误
对于③，当时，
代入中可得：，
此时是等腰直角三角形，故③正确；
故答案为：②③
三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
8. 设集合，若存在函数，满足：
①值域为：
②时恒有，则称集合对是函数相关的．若函数是指数函数，则称指数相关，若是对数函数，则称对数相关．
（1），分别判断是否指数相关和对数相关：
（2）若既指数相关又对数相关，求的值；
（3）若既是指数相关又是对数相关，直接写出的最大值以及对应的一组指数函数和对数函数．
【答案】（1）是指数相关，不是对数相关
（2）
（3）的最大值为，，指数函数为，对数函数为
【解析】
【分析】（1）根据指数相关和对数相关的概念，设，验证①②即可；
（2）设指数函数为，由指数相关的概念令且或且，解出的值，代入验证对数相关即可；
（3）将集合中元素由小到大排列设为，设指数函数为，对数函数为，根据函数单调性可得的对应关系，按单调性分类讨论即可得解.
【小问1详解】
设指数函数为，
当时，，，，值域为，
且满足时恒有，
因此指数相关；
设对数函数的定义域为，
因为，不满足值域为的要求，
因此不是对数相关.
【小问2详解】
既指数相关又对数相关，易知，
设指数函数为，因为，
若且，则且，
所以，且，所以，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因为时，，，时，
所以有唯一解，
此时不满足集合元素互异，因此此情况无解；
若且，易知，则且，解得，
由两边取对数得，
令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又因为时，，时，，
由对数函数和一次函数的图象可知时，，
所以至多有两个解，所以由解得（舍去）或，
此时，，，值域为满足指数相关；
设对数函数为，
则或，即或，
同理解得，，
此时，，值域为满足指数相关；
综上当时，既指数相关又对数相关.
【小问3详解】
因为既是指数相关又是对数相关，
由（2）可知的值可以为，
若，将集合中元素由小到大排列设，
设指数函数为，
由指数函数的性质可知严格单调，
当时，单调递增，此时，，…，，
由（2）可知函数至多有两个解，所以，矛盾，
当时，单调递减，此时，，
所以，即，所以，
由对数函数和指数函数的图象和性质可知与只有一个交点，
所以不满足集合元素的互异性；
设对数函数为，
同理当时，单调递增，此时，，…，，
因为函数，即至多有两个解，所以，矛盾，
当时，单调递减，此时，，
所以，即，所以，
所以不满足集合元素的互异性；
综上的最大值为，，指数函数为，对数函数为.
人大附小
人民英雄
人大附中集团校
人大附中
人才济济
人大代表
人民大学
人大附幼儿园
地灵人杰
学为人师
助人为乐
人大附中东门
人大附小
人民英雄
人大附中集团校
人大附中
人才济济
人大代表
人民大学
人大附幼儿园
地灵人杰
学为人师
助人为乐
人大附中东门