2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.sin405°=( )
A. 1B. −12C. 32D. 22
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,1)，则z的共轭复数z−的对应点的坐标是( )
A. (0,−1)B. (1,−1)C. (−1,1)D. (−1,−1)
3.若α为第三象限角，则下列各式的值为负数的是( )
A. sin(π+α)B. cs(π+α)C. sin(π−α)D. tan(π+α)
4.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点(t,2t)，t>0，则csα=( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
5.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位后与函数g(x)的图象重合，则函数g(x)为( )
A. sin(2x−π6)B. sin(2x+π6)C. sin(2x−π3)D. sin(2x+π3)
6.设向量a,b满足(a+b)//b.若a=(1,1)，则b的坐标可以为( )
A. (1,0)B. ( 22, 22)C. (− 32,−12)D. (0,−1)
7.在△ABC中，∠C=π6，则b2+c2−a2bc的取值范围是( )
A. (−2,2)B. (−1,1)C. ( − 32,1 )D. ( − 3, 2 )
8.在四边形ABCD中，“|AC|=|AB+AD|”是“四边形ABCD是平行四边形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中−π2≤φ≤π2，若∀t>0，f(x)在区间[−t+π3,t+π3]上的最大值与最小值的和为0，则φ=( )
A. − π6B. π6C. − π3D. π3
10.在同一平面内，对于△ABC及半径为r的圆O，若△ABC的顶点A，B，C满足AO≤r，BO≤r，CO≤r，则称△ABC被圆O完全覆盖.已知△ABC，AB= 2，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①sinC=35；条件②csC=12；条件③AB⋅BC=1；条件④S△ABC= 62.其中，满足△ABC可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
二、填空题：本大题共5小题，共20分。
11.已知复数z满足i⋅z=1+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为______．
12.若tanθ=2，则tan2θ= ______．
13.智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行200m，然后沿北偏西60°方向继续前行了300m，则此时机器人与出发点的距离为______m.
14.某正方形网格纸是由6×6个边长为1的小正方形构成，点A，B，C，D的位置如图所示，动点P在正方形网格纸内(包含边界)，记T=(PC+λPD)⋅AB(λ∈R).当λ=−1时，T= ______；当λ=1时，若动点P在小正方形的顶点上，则满足T=−2的点P的个数为______．
15.已知函数F(x)=sin(2πf1x)+sin(2πf2x)，其中f1,f2∈N∗,且f1≠f2.给出下列四个结论：
①函数F(x)是奇函数；
②∀x∈R，F(x)0)，且y=f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若f(x)在(0,m)上的值域为(−32, 3]，求m的值．
18.在△ABC中，∠A为钝角， 3atanB=2bsinA．
(1)求∠B；
(2)若a=4 3，b= 13，D为AB边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ACD存在且唯一确定，求△ACD的面积．
条件①：DC=4；
条件②：sin∠ADC=13；
条件③：△ACD的周长为5+ 13．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.对任意正整数n，定义集合An={(x1,x2,x3,x4)|−n≤xi≤n，xi∈Z，i=1，2，3，4}.设α=(a1,a2,a3,a4)，β=(b1,b2,b3,b4)∈An定义：α−β=(a1−b1,a2−b2,a3−b3,a4−b4)，α⋅β=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4．
(1)(−1,2,0,1)_____A2(填“∈”或“∉”)；A1_____A2(填“⊆”或“⊈”)；
(2)设r，s∈N∗，α∈Ar，β∈As，证明：α−β∈Ar+s；
(3)设α=(2,0,2,5)，β=(5,2,0,2)，λ∈A2，α⋅λ=β⋅λ=0，求λ；
(4)证明：对任意α，β∈A1，存在λ∈A4，满足：α⋅λ=β⋅λ=0，且λ⋅λ≠0．
第Ⅱ卷（共50分）
四、单选题：本大题共4小题，共20分。
20.在空间中，直线l1⊥直线l2，直线l3，l4满足：l3⊥l1，l3⊥l2，l4⊥l1，l4⊥l2，则直线l3，l4位置关系为( )
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面
21.如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD/​/平面PEF，则AFFC的值为( )
A. 1
B. 2
C. 12
D. 23
22.在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥(无裁剪无重叠)，接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如图.已知该彩球的表面积为16πcm2，则该冰淇淋模型的高(圆锥顶点到球面上点的最远距离)为( )
A. (2+ 3)cm
B. (2+2 3)cm
C. 2 3cm
D. 4 3cm
23.如图，已知两个四棱锥P1−ABCD与P2−ABCD的公共底面是边长为2的正方形，顶点P1、P2在底面的同侧，棱锥的高P1O1=P2O2= 3，O1、O2分别为AB、CD的中点，P1D与P2A交于点E，P1C与P2B交于点F.则四棱锥P1−ABFE的体积为( )
A. 3 74B. 32
C. 9 74D. 3 32
五、填空题：本大题共3小题，共15分。
24.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______．
25.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F是CC1的中点，点P为正方形ABCD内(含边界)动点，若D1P⊥AF，则D1P的最小值是______．
26.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是棱AA1上的一个动点，平面BED1与棱CC1交于点F．
(1)给出下列三个结论：
①四棱锥B1−BED1F的体积为定值；
②四边形BED1F可能是正方形；
③若在棱DC上存在点P，使得AP//平面BED1，则线段A1E∈[0,12]；
其中所有正确结论的序号是______．
(2)当点E不是棱AA1的端点时，设D1E∩DA=M，D1F∩DC=N，记△D1MN和四边形BED1F的面积分别为S1，S2，则S1S2的取值范围是______．
三、解答题：本题共1小题，共15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，且AB=4，BC=3，PA=AD=5，∠ABC=90°，E是CD的中点，CD=2 5．
(I)求证：CD⊥平面PAE；
(Ⅱ)设平面PBC∩平面PAD=l，判断并证明l与平面ABCD的位置关系；
(Ⅲ)判断四棱锥P−ABCE是否存在外接球，如果存在，直接指出球心O的位置，并写出球O的体积；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.D
6.B
7.D
8.B
9.D
10.A
11.−1
12.−43
13.100 19
14.4 7
15.①③④
16.(1)因为|a|=3，|b|=2，=π3，
所以a⋅b=|a||b|csπ3=2×3×12=3．
(2)因为λa+b与a垂直，所以(λa+b)⋅a=0，
即λa2+b⋅a=0，所以9λ+3=0，解得λ=−13．
(3)(c−2b)2=(ta−2b)2=t2a2−4ta⋅b+4b2=9t2−12t+16．
当t=23时，9t2−12t+16取得最小值为9×49−12×23+16=12，
所以|c−2b|的最小值为2 3．
17.(1)由题意得f(0)=sinπ6+2−1=32．
(2)f(x)=sin(2ωx+π6)+2cs2ωx−1= 32sin2ωx+12cs2ωx+cs2ωx
= 32sin2ωx+32cs2ωx= 3sin(2x+π3)，
根据y=f(x)相邻两条对称轴之间的距离为π2，
可得f(x)的周期T=2×π2=π，即2π2ω=π，解得ω=1，所以f(x)= 3sin(2x+π3)，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，
解得f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z；
(3)当0