2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.sin405°=( )
A. 1B. −12C. 32D. 22
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,1)，则z的共轭复数z−的对应点的坐标是( )
A. (0,−1)B. (1,−1)C. (−1,1)D. (−1,−1)
3.若α为第三象限角，则下列各式的值为负数的是( )
A. sin(π+α)B. cs(π+α)C. sin(π−α)D. tan(π+α)
4.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点(t,2t)，t>0，则csα=( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
5.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π6个单位后与函数g(x)的图象重合，则函数g(x)为( )
A. sin(2x−π6)B. sin(2x+π6)C. sin(2x−π3)D. sin(2x+π3)
6.设向量a,b满足(a+b)//b.若a=(1,1)，则b的坐标可以为( )
A. (1,0)B. ( 22, 22)C. (− 32,−12)D. (0,−1)
7.在△ABC中，∠C=π6，则b2+c2−a2bc的取值范围是( )
A. (−2,2)B. (−1,1)C. ( − 32,1 )D. ( − 3, 2 )
8.在四边形ABCD中，“|AC|=|AB+AD|”是“四边形ABCD是平行四边形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中−π2≤φ≤π2，若∀t>0，f(x)在区间[−t+π3,t+π3]上的最大值与最小值的和为0，则φ=( )
A. − π6B. π6C. − π3D. π3
10.在同一平面内，对于△ABC及半径为r的圆O，若△ABC的顶点A，B，C满足AO≤r，BO≤r，CO≤r，则称△ABC被圆O完全覆盖.已知△ABC，AB= 2，再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知.条件①sinC=35；条件②csC=12；条件③AB⋅BC=1；条件④S△ABC= 62.其中，满足△ABC可能被一个半径为1的圆完全覆盖的所有条件是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
二、填空题：本大题共5小题，共20分。
11.已知复数z满足i⋅z=1+i，其中i为虚数单位，则z的虚部为______．
12.若tanθ=2，则tan2θ= ______．
13.智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行200m，然后沿北偏西60°方向继续前行了300m，则此时机器人与出发点的距离为______m.
14.某正方形网格纸是由6×6个边长为1的小正方形构成，点A，B，C，D的位置如图所示，动点P在正方形网格纸内(包含边界)，记T=(PC+λPD)⋅AB(λ∈R).当λ=−1时，T= ______；当λ=1时，若动点P在小正方形的顶点上，则满足T=−2的点P的个数为______．
15.已知函数F(x)=sin(2πf1x)+sin(2πf2x)，其中f1,f2∈N∗,且f1≠f2.给出下列四个结论：
①函数F(x)是奇函数；
②∀x∈R，F(x)0)，且y=f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若f(x)在(0,m)上的值域为(−32, 3]，求m的值．
18.在△ABC中，∠A为钝角， 3atanB=2bsinA．
(1)求∠B；
(2)若a=4 3，b= 13，D为AB边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ACD存在且唯一确定，求△ACD的面积．
条件①：DC=4；
条件②：sin∠ADC=13；
条件③：△ACD的周长为5+ 13．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.对任意正整数n，定义集合An={(x1,x2,x3,x4)|−n≤xi≤n，xi∈Z，i=1，2，3，4}.设α=(a1,a2,a3,a4)，β=(b1,b2,b3,b4)∈An定义：α−β=(a1−b1,a2−b2,a3−b3,a4−b4)，α⋅β=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4．
(1)(−1,2,0,1)_____A2(填“∈”或“∉”)；A1_____A2(填“⊆”或“⊈”)；
(2)设r，s∈N∗，α∈Ar，β∈As，证明：α−β∈Ar+s；
(3)设α=(2,0,2,5)，β=(5,2,0,2)，λ∈A2，α⋅λ=β⋅λ=0，求λ；
(4)证明：对任意α，β∈A1，存在λ∈A4，满足：α⋅λ=β⋅λ=0，且λ⋅λ≠0．
第Ⅱ卷（共50分）
四、单选题：本大题共4小题，共20分。
20.在空间中，直线l1⊥直线l2，直线l3，l4满足：l3⊥l1，l3⊥l2，l4⊥l1，l4⊥l2，则直线l3，l4位置关系为( )
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面
21.如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD/​/平面PEF，则AFFC的值为( )
A. 1
B. 2
C. 12
D. 23
22.在手工课上，小明将一张半径为2cm的半圆形纸片折成了一个圆锥(无裁剪无重叠)，接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如图.已知该彩球的表面积为16πcm2，则该冰淇淋模型的高(圆锥顶点到球面上点的最远距离)为( )
A. (2+ 3)cm
B. (2+2 3)cm
C. 2 3cm
D. 4 3cm
23.如图，已知两个四棱锥P1−ABCD与P2−ABCD的公共底面是边长为2的正方形，顶点P1、P2在底面的同侧，棱锥的高P1O1=P2O2= 3，O1、O2分别为AB、CD的中点，P1D与P2A交于点E，P1C与P2B交于点F.则四棱锥P1−ABFE的体积为( )
A. 3 74B. 32
C. 9 74D. 3 32
五、填空题：本大题共3小题，共15分。
24.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______．
25.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F是CC1的中点，点P为正方形ABCD内(含边界)动点，若D1P⊥AF，则D1P的最小值是______．
26.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E是棱AA1上的一个动点，平面BED1与棱CC1交于点F．
(1)给出下列三个结论：
①四棱锥B1−BED1F的体积为定值；
②四边形BED1F可能是正方形；
③若在棱DC上存在点P，使得AP//平面BED1，则线段A1E∈[0,12]；
其中所有正确结论的序号是______．
(2)当点E不是棱AA1的端点时，设D1E∩DA=M，D1F∩DC=N，记△D1MN和四边形BED1F的面积分别为S1，S2，则S1S2的取值范围是______．
三、解答题：本题共1小题，共15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，且AB=4，BC=3，PA=AD=5，∠ABC=90°，E是CD的中点，CD=2 5．
(I)求证：CD⊥平面PAE；
(Ⅱ)设平面PBC∩平面PAD=l，判断并证明l与平面ABCD的位置关系；
(Ⅲ)判断四棱锥P−ABCE是否存在外接球，如果存在，直接指出球心O的位置，并写出球O的体积；如果不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：sin405°=sin(360°+45°)=sin45°= 22．
故选：D．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意，复数z=1+i，
则z的共轭复数z−=1−i，对应点的坐标是(1,−1)．
故选：B．
由复数的几何意义即可求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为α为第三象限角，所以sinα0，可知A错误；
由cs(π+α)=−csα>0，可知B错误；
由sin(π−α)=sinα0，可知D错误．
故选：C．
根据三角函数在第三象限的正负，结合诱导公式加以计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查任意角的三角函数、诱导公式等知识，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设P(t,2t)，由题意得|OP|=r= t2+4t2= 5t，
所以csα=xr=t 5t= 55．
故选：A．
根据题意，利用三角函数的定义求出csα的值，可得答案．
本题主要考查两点间的距离公式、三角函数的定义等知识，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误，属于基础题．
利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．
【解答】
解：将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位后，
所得到的函数图象对应的解析式为：y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3).
则函数g(x)为：y=sin(2x+π3).
故答案选：D．
6.【答案】B
【解析】解：设b=(x,y)，由题意，a+b=(x+1,y+1)，
因为(a+b)//a，所以x+1=y+1，
得x=y，ACD不满足，B符合．
故选：B．
设出b的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求解．
本题主要考查平面向量平行的坐标表示，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由∠ C=π6，可得0