2024-2025学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=2+i，则z−=( )
A. −2+iB. 2−iC. −2−iD. 1+2i
2.已知平面向量a=(2,−1),b=(m,4)，且a⊥b，则m=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.已知csα=35，则sin(32π−α)=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A. y=cs2xB. y=sin(x+π4)C. y=sinxcsxD. y=sin|2x|
5.将函数y=sin(2x)的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y=sin(2x−π3)的图象，则φ的最小值为( )
A. φ=π6B. φ=π3C. φ=2π3D. φ=5π6
6.已知△ABC中，a=2,b=2 3,B=π3，则角A的值是( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
7.已知i和j是夹角为60°的单位向量，a=i−2j，b=2i，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. − 55B. 55C. 0D. 33
8.设α∈R，则“sin2α= 32”是“tanα= 3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在△ABC中，sin2B2=c−a2c，则△ABC的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+π3)+B，其中A>0，ω>0，直线y=m与y=f(x)的图象相交，其中两个相邻交点分别是M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，当m=3或m=−1时，|MN|取最大值为π，则f(π6)=( )
A. 3+1B. 3C. 3D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数z=2+i2−i(i为虚数单位)，则z的模为______．
12.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线AC1的长为______；若E为BC边上一点，则四棱锥E−ADD1A1的体积为______．
13.在△ABC中，a=4，B=30°，请写出一个b的值是______，使得满足条件的三角形恰有两个．
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB⋅OP的值为______；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB⋅OP的取值范围是______．
15.已知函数f(x)=|sinx|+ 3csx，x∈R.给出下列三个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)的值域是[−2,2]；
③f(x)在区间[2kπ+π4,2kπ+π](k∈Z)上单调递减；
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知sinα=35，且α∈(π2,π)．
(Ⅰ)求csα，tanα的值；
(Ⅱ)若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(−1, 3)，求cs(α+2β)的值．
17.(本小题8分)
已知平面向量a，b满足|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为120°．
(Ⅰ)求a⋅b以及|a+b|；
(Ⅱ)若向量2a−λb与λa−3b不能作为平面向量的一组基底，求实数λ的值．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)= 32sin2x−12cs2x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(Ⅱ)当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围为[−12,1]，求m的最大值．
19.(本小题8分)
在△ABC中，sinA−csA= 22．
(Ⅰ)求A的值；
(Ⅱ)若c=2，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b的值和△ABC的面积．
条件①：C=π4；条件②：a= 3+1．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题8分)
已知n为正整数，集合Mn={(x1,x2,⋯,xn)|xi∈{−1，1}，i=1，2，⋯，n}，对于Mn中任意两个元素α=(a1,a2,⋯,an)和β=(b1,b2,⋯,bn)，定义：[α,β]=a1b1+a2b2+⋯+anbn．
(Ⅰ)若α，β∈M2且α=(1,−1)，写出所有的β使得[α,β]=0；
(Ⅱ)已知集合A满足A⊆M4，且对集合A中任意两个元素α，β都有[α,β]=0.设集合A的元素个数为k，求k的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z=2+i，所以z−=2−i．
故选：B．
利用共轭复数的定义计算即可．
本题考查了复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为a⊥b，
所以a⋅b=(2,−1)⋅(m,4)=2m−4=0，解得m=2．
故选：D．
由a⊥b等价于a⋅b=0，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为csα=35，
则sin(32π−α)=−csα=−35．
故选：D．
结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，因为cs(−2x)=cs2x，所以y=cs2x为偶函数，故A错误；
对于B，因为sin(−x+π4)=−sin(x+π4)不成立，所以y=sin(x+π4)不是奇函数，故B错误；
对于C，因为y=sinxcsx=12sin2x，其最小正周期为2π2=π，且12sin(−2x)=−12sin2x，
所以y=sinxcsx为奇函数，且最小正周期为π，故C正确；
对于D，因为y=|sin(−2x)|=|sin2x|，所以y=|sin2x|为偶函数，故D错误．
故选：C．
分别求各选项的周期性和奇偶性即可求得．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：函数y=sin(2x)的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，函数y=sin(2x−2φ)的图象，
即得到函数y=sin(2x−π3)的图象
故−2φ=2kπ−π3，整理得2φ=−2kπ+π3(k∈Z)，即φ=−kπ+π6，
当k=0时，φ的最小值为π6．
故选：A．
直接利用三角函数关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：由正弦定理，得asinA=bsinB，
所以2sinA=2 3sinπ3，
解得sinA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π6或A=5π6，
又b>a，所以B>A，所以A=π6．
故选：A．
先利用正弦定理，求出角A，再结合“大边对大角”，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：i⋅j=1×1×cs60°=12，
则：a⋅b=(i−2j)⋅2i=2i2−4i⋅j=2−4×12=0，
故a与b的夹角的余弦值为csθ=a⋅b|a|×|b|=0|a|×|b|=0．
故选：C．
根据向量的数量积公式即可求解．
本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：α∈R，由sin2α= 32，得2α=π3+2kπ或2α=2π3+2kπ，k∈Z，
即α=π6+kπ或α=π3+kπ，k∈Z，则tanα= 33或tanα= 3，故充分性不成立；
由tanα= 3，可得sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2 33+1= 32，故必要性成立．
∴α∈R，则“sin2α= 32”是“tanα= 3”的必要不充分条件．
故选：B．
由已知结合三角函数值的求法及充分必要条件的判定得答案．
本题考查充分必要条件的判定，考查倍角公式的应用，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：∵sin2B2=c−a2c=1−csB2，即csB=ac，
∴由余弦定理可得：csB=ac=a2+c2−b22ac，
∴整理可得a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．
本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由m=3或m=−1时，|MN|取最大值为π，所以T=π，A+B=3，−A+B=−1，
所以ω=2πT=2，A=2，B=1，
所以f(x)=2sin(2x+π3)+1，
f(π6)=2sin(2×π6+π3)+1=2sin2π3+1=2× 32+1= 3+1．
故选：A．
根据m=3和m=−1时|MN|取得最大值求出T和A、B的值，再计算ω，写出f(x)的解析式，从而求出f(π6)的值．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
11.【答案】1
【解析】解：∵z=2+i2−i=(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i，
∴|z|= (35)2+(45)2=1．
故答案为：1．
利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
12.【答案】 6 23
【解析】解：因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，
所以AC1= AB2+AD2+C1C2= 1+1+4= 6；
因为E为BC边上一点，且BC/​/平面ADD1A1，
所以VC−ADD1A1=VE−ADD1A1=13⋅SADD1A1⋅CD=13×1×2×1=23．
故答案为： 6；23．
利用勾股定理求得空一；利用等体积法求得空二．
本题考查棱柱的结构特征，以及等体积法的应用，属于基础题．
13.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：在△ABC中，a=4，B=30°，
当三角形恰有两个时，
有asinB