上海市普陀区2026年九年级数学一月期末试卷

这是一份上海市普陀区2026年九年级数学一月期末试卷，共11页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题，计算，函数的定义域是 ▲ 等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．试卷满分150分．考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
4. 填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知，下列式子一定成立的是
（A），； （B）； （C）； （D）．
2．在Rt△中，，如果，，那么的值是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4．设非零向量、、，如果，，那么下列说法中错误的是
（A）//； （B）与方向相反； （C）； （D）．
图1
A
D
C
B
E
F
5．如图1，在△中，点在边上，点、在边上，//．下列条件中，不一定能判定//的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
图2
A
D
C
B
P
Q
6．如图2，在等边三角形中，点在边上，点关于直线、的对称点分别是点、，那么关于线段与线段之间的数量关系正确的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：= ▲ ．
8．函数的定义域是 ▲ ．
9．已知在反比例函数的图像所在的每个象限内，的值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ▲ ．
10．已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为 ▲ ．
11．已知抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为 ▲ ．
12．将两根长度相同的细铜丝均在其黄金分割点处弯折（不计弯折处损耗），再首尾相接围成一个矩形（），联结，那么的正切值等于 ▲ ．
13．如图3，在Rt△中，，为中线，点在边上，⊥．如果，，那么 ▲ ．
14．已知四边形对角线与交于点，，．如果，那么 ▲ 度．
15．如图4，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从处沿射线的方向延伸 ▲ 米．
16．如图5，△中，、分别平分、，点、分别在边、上．过点的线段//．如果，，，那么 ▲ ．
A
C
B
D
图3
E
A
C
B
图4
A
C
B
M
图5
N
O
17．我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点.已知在△中，，，为边上的高，点在上，联结并延长交于点，如果点是△的中垂点，那么的值为 ▲ ．
A
C
B
图6
18．如图6，△中，，，，点在边上，将△沿着翻折得△，其中点与点对应，联结，如果，那么 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20. （本题满分10分）
A
E
F
D
C
O
B
图7
G
如图7，已知线段与交于点，点、分别在和上，////，射线与交于点，，．
（1）求的长；
（2）联结，设，，
那么 ▲ ， ▲ ．（用向量、表示）
21.（本题满分10分）
y
A
O
x
图8
1
1
如图8，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上．
（1）求点、的坐标；
（2）点在反比例函数的图像上，
如果，将直线平移，使其经过点，
求平移后所得直线的表达式．
22．（本题满分10分）
【发现问题】顺次联结对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形.小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？
【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图9，在四边形中，，点、、、分别在边、、、上，且////， ▲ ，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？
【分析问题】小普同学在与AI的交流中，AI给出了一种解决问题的思考路径：
D
G
C
图9
B
F
A
E
H
【解决问题】
（1）根据图9，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“ ▲ ”）；
B
C
D
A
图10
（2）根据小普同学与AI的对话，设，，用含a、的代数式表示；
（3）在图10中，画出符合要求的菱形，写出确定点的作图步骤，
并保留确定点的作图痕迹.
23．（本题满分12分）
A
D
C
B
图11
E
F
已知：如图11，四边形中，点在边上，交于点，，．
（1）求证：△∽△；
（2）如果，求证：．
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为．
（1）用含的代数式分别表示点、点的坐标；
（2）作过点和点的直线交轴于点．
①当取不同的数值时，点是否会移动？如果不会，试求出点的坐标；如果会，试用含的代数式表示的长；
y
x
O
图12
1
1
②当取1时，抛物线与轴的交点记作，顶点记作，当取（）时，此时抛物线与轴的交点和顶点分别记作和，如果的补角等于的两倍时，求的值．
25．（本题满分14分）
如图13，已知矩形中，点是边上一动点，在△右侧作△，使得△∽△，其中点、分别与点、对应. 已知，.
（1）当点与点重合时，求四边形的面积；
（2）点由点向点移动的过程中（点不与点重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为 = 2 \* GB3 ②的量的变化情况的理由：
= 1 \* GB3 ①的大小； = 2 \* GB3 ②的长度； = 3 \* GB3 ③的值.
其中，变大的量是 ▲ ；变小的量是 ▲ .（请在横线处填入编号）
（3）当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求AE的长.
A
D
B
C
A
DD
B
C
E
F
图13

备用图
2025学年度第一学期期末九年级自适应练习
数学学科参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．(D)； 2．(A)； 3．(C)； 4．(D)； 5．(B)； 6．(B)．
填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
解：原式=
=
=．
解：（1）∵， ∴．
∵//， ∴．∴ ．
∵//，∴ ． ∵，∴ ．
（2），．
21．解：（1）∵点在反比例函数的图像上，
∴把代入，可得．∴点的坐标为．
把，代入．可得，所以．
又∵点在直线上，可得．∴点的坐标为．
（2）过点作⊥轴，为垂足，延长交轴于点．
由点的坐标为，可得，所以．
∵，∴⊥轴． ∴点的横坐标为8．
∵点在反比例函数的图像上，∴点的坐标为．
可得 ． ∴平移后直线的表达式为．
22．解：【A1】（1）////．（答案不唯一）
（2）∵//，，∴．
∵，∴．同理 ．
∵//，//，∴四边形是平行四边形.
如果四边形是菱形，可知必须满足.
可得 . 解得 .
（3）步骤（方法不唯一）：
①延长至，使，联结；②过点作//，交于点；
∴四边形是所画菱形.
【A2】（1）//
（2）∵//，∴．
同理 ．∴．
∴//，∴．
∵,，∴．同理．
∵//，//，∴四边形是平行四边形.
如果四边形是菱形，可知必须满足.
可得 . 解得 .
（说明：本题采用绿色指标评分方式答案分为A1和A2两类．）
23．证明：（1）∵，∴．
∵，∴△∽△．∴．
∵，∴．
∵，，
∴．∴△∽△．
（2）∵，∴．
∵△∽△，∴．∵，∴．
∴．∴．又∵，∴△∽△．
∴．即．
24．解：（1）由抛物线与轴交于点，
可得 . 整理得.
当时，.
所以，点、点的坐标分别为、．
（2）点不会移动．
设直线的表达式为（）．
由点、点的坐标分别为、，
可得 解得．
所以，直线的表达式为．
当，可得．所以，点的坐标为．
（3）由题意可知 点的坐标为，点的坐标为．
∵，∴点在点上方．
由的补角等于的两倍，可得．∴．
可得．解得．
25．解：（1）∵四边形是矩形，∴.
在△中，由，，可得，.
∵△∽△，∴.
∴.∴.
（2）变大的量是 = 3 \* GB3 ③ ；变小的量是 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② ；
编号 = 2 \* GB3 ②的说理：∵△∽△，∴.
可得 .即.
当点由点向点移动时，的长度变大，所以的长度变小.
（3）记、的交点为.
1°当时.过点分别作⊥,⊥.
∵，∴
易证△≌△.可得.易证△≌△.可得.
∴.∵,∴.∴.
2°当时.延长,交的延长线于点.
易证△为等腰三角形.
设，则，.
∵，∴.
由//，可得.
∴.
解得.（舍去）
即.
综上所述，或.
7．2；
8． ；
9．；
10．；
11．；
12．；
；
14．68；
15．4.8；
16．；
17．或；
18．．