上海市闵行区2025学年第一学期初三质量调研数学学科试卷（含答案解析）

这是一份上海市闵行区2025学年第一学期初三质量调研数学学科试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．
作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
填涂选择题和作图用2B铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔．
一、选择题（共24分，每小题4分，每小题只有一个正确选项）
1．下列各组图形中不一定是相似形的是
（A）两个等腰直角三角形； （B）两个等边三角形；
（C）两个正方形； （D）两个直角三角形．
2．下列函数中，二次函数是
（A）； （B）； （C）；（D）．
3．下列说法中，一定正确的是
（第4题图）
A
B
C
D
E
F
G
l1
l2
（A）如果 、是非零向量，且，那么∥；
（B）如果是单位向量，那么=1；
（C）向量与是相等向量；
（D）如果，是非零向量，那么．
4．如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于
点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，
l1//l2//BC，那么下列比例式一定正确的是
（A）；（B）； （C）； （D）．
5．已知抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是直线，
且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是
B1
y
x
A1
A2
A3
B2
B3
B4
B5
B6
C1
C2
C3
O
y=m
（第6题图）
（A）； （B）；（C）；（D）．
6．如图，已知抛物线C1：（0≤x≤6）与x轴交于O、A1两点．将抛物线C1向右平移得到抛物线C2，交x轴于点A1、A2；再将抛物线C2向右平移得到抛物线C3，交x轴于点A2、A3．若直线（）与这3条抛物线交于点B1、B2、B3、B4、B5、B6，则这6个点的横坐标之和是
（A）6； （B）18； （C）30； （D）54．
（第12题图）
A
B
1∶2
传送带
4
二、填空题（共48分，每小题4分）
7．如果，那么的值是 ▲ ．
8．计算： ▲ ．
9．如果两个相似三角形的面积之比为16∶9，那么它们的周长之比是 ▲ ．
10．已知长方形的长是x，宽是长的一半，面积是y，那么y关于x的解析式是 ▲
（不要求写定义域）．
11．在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC=12，∠B的余弦值是，那么AB的长是 ▲ ．
12．如上图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶2，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是 ▲ 米（结果保留根号）．
13．在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的黄金分割点，且AD>DB，AE>EC，BC=2，那么DE的长是 ▲ （结果保留根号）．
（图 = 1 \* GB3 ①）
（第15题图）
光源
手
影
墙
（图 = 2 \* GB3 ②）
A
B
C
Q
（第14题图）
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB=12，结合尺规作图痕迹所提供的信息
可求出AQ的长是 ▲ ．
15．如图 = 1 \* GB3 ①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图 = 2 \* GB3 ②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的 ▲ （填“几分之几”）．
16．如图，在△ABC中，点M、N分别是AB、BC的中点，联结AN、CM交于点G，GF∥AC交BC于点F，那么∶= ▲ ．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AC=10，，点D是边BC上的一点，联结AD，如果，那么AD= ▲ ．
（第18题图）
A
B
D
C
（第17题图）
A
B
C
D
（第16题图）
A
C
B
G
N
M
F
18．如图，矩形ABCD中，联结BD，点E是BC的中点，过点E作EF//BD交CD于点F，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在平面内点G处，如果点G恰在AE上，那么BG∶AE的值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）
如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤．
19．（本题10分）
计算：．
20．（本题10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
如图，已知平行四边形ABCD中，点E是边DC的中点，AE与对角线BD交于点G，设，．
（1）填空：向量 ▲ ，向量 ▲ ．
(注：本题结果用含向量的式子表示）
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
(注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
A
B
C
D
E
G
（第20题图）
21．（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）若该机器人与地面的接触面积S保持不变，为了确保它在餐厅内不同材料的地面上工作时均不会对地面造成破坏，求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
22．（本题12分，每小题6分）
（第22题图）
A
B
C
D
G
E
F
如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD = 90°，且．
（1）求证：∠ABE=∠FCD；
（2）如果DA平分∠BDC，求证：．
23．（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题2分）
探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料MOBP中MO//PB，小条形边角料NOAQ中ON//AQ，∠MOB=∠NOA=135°），如图1拼接到直角地砖（∠MON = 90°）的外边上，发现点A与点B不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2——图9的操作解决了问题，完成了拼接．
请根据图2——图6的操作说明，在图 = 1 \* GB3 ①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
如果大条形边角料MOBP的宽度为12cm，小条形边角料NOAQ的宽度为9cm，大条形边角料MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP= ▲ ；
请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
O
N
M
B
A
（第23题图 = 1 \* GB3 ①）
P
Q
大
小
O
N
M
B
A
（第23题图 = 2 \* GB3 ②）
P
Q
大
小
24．（本题12分，每小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：（b、c是常数）经过点A（5，－6），对称轴为直线，顶点为B．
（1）求抛物线C1的函数表达式及点B的坐标．
（2）点M为抛物线C1上的动点，过点M作直线x=m．
①当点M在对称轴右侧时，抛物线在直线x=m右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为2－m，求m的值；
②当点不在坐标轴上时，直线x=m交抛物线C2：于点P，过点P作y轴垂线，垂足为点D，在线段PD的延长线上截取DQ=2PD，联结MQ，当抛物线C1的顶点B在△内部时，直接写出的取值范围．
（第24题图）
x
1
y
O
O
1
x
y
1
-1
-1
D
太阳光线
E
太阳光线
地面
O
A
B
H
F
C
M
（第22题图）
25．（本题14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）
如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点．
当∠ABC = 90° 时．
① 如图1，BD是边AC上的高，求证：；
② 如图2，AD=AE，点F在边BC上，且CF= CD，顺次联结DE、EF、FD．
如果EF=DF，tan∠EFB=，求的值．
如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD =∠ACB，点G在线段DB延长
线上，且BG=BC，联结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，
求的值．
A
B
C
D
E
F
（第25题图2）
A
B
C
D
（第25题图1）
B
C
A
D
（第25题图3）
2025学年第一学期初三年级学业质量调研
数学答案及评分标准
一、选择题：
1．D；2．C；3．A；4．B；5．C；6．D．
二、填空题：
7．； 8．； 9．； 10．； 11．16； 12．；13．；
14．6； 15．； 16．； 17．； 18．．
三、解答题：
19．解：原式
．
20．解：（1），．
（2）作图略．
21．解：（1）根据表一，可得地面所受压强与接触面积之间存在反比例关系．
设解析式为：；
；
；
．
（2）把带入解析式得：．
．
答：机器人与地面的接触面积至少为m2．
22．证明：（1）在△BAE与△DCE中，
∴△BAE∽△DCE．
∴∠BAE=∠DCE=90°，∠ABE=∠CDF；）
∵点F是△ECD边DE的中点．
∴．
∴∠FCD=∠CDF，∠FCE=∠FEC；
∴∠ABE=∠FCD．
（2）∵∠BED+∠FEC=180°，∠BCG+∠FCE=180°，
又∵∠FCE=∠FEC，
∴∠BED=∠BCG；
∵DA平分∠BDC．
∴∠CDF=∠EDB；
∵∠ABE=∠CDF，
∴∠ABE=∠EDB；
在△BCG与△DEB中，
∴△BCG∽△DEB．
∴
∵，∴，
N＇
Q＇
O
N
M
B
A
（第23题图 = 1 \* GB3 ①）
P
Q
大
小
O＇
（A＇）
C
D
∴．
23.解：（1）

（2）tan∠OCP=．
N
O
M
Q
小
大
P
O＂
A＂
（第23题图 = 1 \* GB3 ①）
A
B
（3）
将两条条形边角料都沿OA＂切割．
（E）
24.（本题共3小题，每小题4分，满分12分）
解： （1）∵抛物线C1：对称轴为直线，
∴，，，
∵抛物线C1经过点A（5，－6），
∴．
∴抛物线C1的表达式为．
∴顶点B的坐标为（1，2）．
（2） ∵点M在抛物线C1上，设M的坐标为，
∵点M在抛物线的右侧y随着x的增大而减小，
∴最高点为点M，，解得：．
∵点M在抛物线的右侧，
∴，∴．
（3） 或．
25．（1）解：∵BD是边AC上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
∴，
∴．
∵AE =AD，∴∠AED =∠ADE．
∵∠A+∠AED+∠ADE =180°，∴，
同理可证．
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴．
∵EF =DF，∴∠FED =∠FDE=45°，
∵∠EFD+∠FED+∠EDF =180°，
∴∠EFD=90°．
过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
∴∠DHB=∠DHC=90°．
∵∠BFD=∠DHB+∠FDH，即∠EFB+∠EFD=∠DHB+∠FDH ，
∵∠EFD=90°，∠DHB=90°．
∴∠EFB=∠FDH ．
∵EF =DF，
∴△EBF≌△FHD，
∴FH=EB，DH=BF ．
∵在Rt△EBF中，∠ABC=90°，，
∴设EB=a，BF=2a．
∵在Rt△DCH中，∠DHC=90°，，
设CH=b，∴，
∴，
∴．
（3）在△ABD与△ACB中，
∴△ABD∽△ACB，
∴．
∵点D是边AC的中点，
∴设AD=CD=k，AC=2k．
∴AB=．
∴．
∴设BD=m，BC=．
∵点H是边GC的中点，BG=BC，
∴BH⊥GC，∠BGC=∠BCG．
∵点O在HB的延长线上，
O
B
G
H
D
C
A
∴OH是线段GC的垂直平分线．
联结OG，
∴OG=OC．
∴∠OGC=∠OCG，
∴∠OGC－∠BGC=∠OCG－∠BCG．
即∠OGB=∠ACB．
∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD=∠OGB，
∴AB//OG，
∴，
∴OA=．
∵△BCD与△BCO同高，△BCD与△BCG同高，△BCD与△OBD同高，
∴，，
设，
∴，，．
∵点H是边GC的中点，
∴，
∴，
∴．
（第25题（3）图）
地面所受压强p（Pa）
……
4×104
6×104
8×104
1×105
……
接触面积S（m2）
……
1.2×10-3
8×10-4
6×10-4
4.8×10-4
……
地面材质
玻璃
木地板
大理石
能承受的最大压强p（Pa）
4.8×107
2.4×107
2.5×108
大
小
O
A
B
M
N
P
Q
P
P
Q
P
O＇
O＇
N＇
N＇
Q＇
P
M
N
A
C
O
M
N
C
O
M
N
C
O
B(A)
D
M
N
O
C
B
图1
图2
图3
图4
图5
【操作说明】
将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边．
【操作说明】
画出QA的延长线，交BP于点C．
【操作说明】
联结OC．
【操作说明】
延着射线OB方向，平移小条形边角料NOAQ，使点A与点B重合，得到四边形．
【操作说明】
画出MO的延长线，交小条形边角料的边于点D．
P
N＇
Q＇
P
N＇
Q＇
P
O
C
B
D
M
N
O
C
B
X
D
X
M
N
X
O(D)
C(B)
M
N( )
图6
图7
图8
图9
【操作说明】
联结BD．
【操作说明】
沿着OC、BD切割．
【操作说明】
拼接切割后的两根条形边角料．