2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末测试题-自定义类型

这是一份2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末测试题-自定义类型，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（ ）．
A. B. C. 1D. 2
2.已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
3.如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（ ）度．
A. 84B. 86C. 88D. 92
4.如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm,底面周长为12cm,在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）
A. 12cm
B.
C.
D. 10cm
5.若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形，1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形，它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（ ）
A. 1296B. 1444C. 2304D. 20736
6.关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
​​​​​​​
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，
其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；
③；④．
其中能判断的是（ ）
A. ①②B. ①④C. ①③D. ②④
10.一次函数与正比例函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
11.如果点A（m-8，m-2）在x轴上，那么点B（m+1，m-6）所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
12.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
14.某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ．
15.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，，，则的度数为
16.图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”）
17.若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ．
18.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算
(1)
(2)
20.解下列方程组．
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若．
(1) 求证：．
(2) 若，平分，求的度数．
22.(本小题6分)
数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1) 如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法1： ；
方法2： ．
根据以上信息，可以得到的等式是 ．
(2) 如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系．
(3) 在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积．
23.(本小题6分)
为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1) 填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
(2) 求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3) 根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
24.(本小题6分)
某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
(1) 求的值；
(2) 该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
25.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1) 在图中作出关于x轴的对称图形；
(2) 直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ；
(3) 在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
26.(本小题6分)
已知点是平面直角坐标系内的点．
(1) 若点P到两坐标轴的距离相等，求x的值；
(2) 若点P在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求x的值．
27.(本小题7分)
某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
(1) 求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2) A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
28.(本小题9分)
已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1) 如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2) 如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3) 如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】D
13.【答案】5
14.【答案】12
15.【答案】100
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】4
19.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

20.【答案】【小题1】
解：，
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
方程组的解集为；
【小题2】
解：，
由得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解集为．

21.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】
解：∵从整体看，小正方形的边长为c，
∴．
从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小题3】
解：∵，，
∴，
∴小正方形的面积为25．

23.【答案】【小题1】
50
34
8
8
【小题2】
这组数据的平均数是8.36．
【小题3】
在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．

24.【答案】【小题1】
解：根据题意，得，
解得；
【小题2】
解：当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．

25.【答案】【小题1】
解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示：
；
【小题2】
​​​​​​​
【小题3】
解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求：
理由如下：
由对称可知，
的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴当P为与y轴的交点时，的周长最小．

26.【答案】【小题1】
解：根据题意得：，
或，
当时，解得：，
当时，解得：，
综上，x的值为1或；
【小题2】
根据题意得：，
解得：．

27.【答案】【小题1】
解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
【小题2】
解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得：，
解得，，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯台，
由题意得：，
整理得：，
∴
a、b为自然数，
或或或，
有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．

28.【答案】【小题1】
解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小题2】
解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【小题3】
解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
22
乙
25
购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型
B型
第一次
10
20
3000
第二次
15
10
4500