陕西省渭南市部分重点高中2025-2026学年高一上学期1月期末质量检测 数学

这是一份陕西省渭南市部分重点高中2025-2026学年高一上学期1月期末质量检测 数学，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．数据5，7，3，2，11，13的第70百分位数为（ ）．
A．7B．11C．13D．17
4．设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．－1B．C．1D．2
5．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
6．已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ）
A．B与D互斥
B．A与D互为对立事件
C．
D．
10．已知函数的最大值为2，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为D．方程在上有4个解
11．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．对数恒有意义，则实数的取值范围是
C．函数的值域为
D．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围
三、填空题
12．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 .
13． ．
14．计算： .
四、解答题
15．已知.
(1)当时，求证：在上为减函数；
(2)若方程有且仅有一个实数根，求的最小值；
(3)若存在使得在上恒成立，求证：.
16．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集；
(3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．
17．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.
18．已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值.
19．设，函数.
(1)若函数是奇函数，求实数的所有可能值；
(2)当时，求函数的值域；
(3)当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.
1．C
解绝对值不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，再利用并集的定义求得答案.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：C
2．D
先确定圆心角对应的弧度，再利用扇形的弧长公式求扇形半径.
【详解】由题设，弧所对圆心角为，且弧长为5，则扇形的半径为.
故选：D
3．B
应用百分位数的求法求第70百分位数.
【详解】由题设，数据从小到大依次为，
所以，故第70百分位数是第5个数，为11.
故选：B
4．C
由题意转化为方程在区间上有且只有一个根，再利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】当时，曲线与恰有一个交点，
即时，方程只有一个实数根，
方程化简为，
问题可转化为函数在时只有一个零点，
由在上为偶函数，则有，解得.
时，函数，
方程在时，只有一个解，
所以当时，曲线与恰有一个交点.
故选：C
5．C
根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
又为为增函数，则，
故恒过定点.
故选：C.
6．C
根据的单调性可求不等式的解集.
【详解】因为为奇函数，故在上为增函数，而，
故的解为或，
的解为或，
当时，由可得，故或，此时不等式无解；
当时，可得，故或，故
综上可得：不等式的解集为.
故选：C.
7．C
根据对数函数的性质，讨论、分别解不等式求参数范围.
【详解】当，则，可得，即，
当，则，可得，即，
综上，.
故选：C
8．C
考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题.
【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能.
先固定中间，有如图所示的四种情形，这四种情形只有一种可以拉成结，
将这四种情形翻转得到另外四种情形，
所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为.
故选：C
9．ABD
写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可.
【详解】由题意，样本空间为，
对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确；
对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
根据辅助角公式求出，进而化简，最后结合正弦函数的性质逐一判断.
【详解】由辅助角公式可知，的最大值为，得（正值舍去），A正确；
，则最小正周期为，故C错误；
因，故的图象关于直线对称，B正确；
，则，
则或，，
即或，，
因，则、、、，共个，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
由抽象函数的定义域求法即可判断A；由对数真数大于零及一元二次不等式恒成立即可判断B；换元法求解函数值域即可判断C；根据复合函数单调性得在区间上单调递增，然后利用二次函数单调性列不等式求解即可判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得，
所以的定义域为，故A正确；
对于B，若对数恒有意义，则恒成立，
当即时，不等式，符合要求；
当即时，因为恒成立，
则满足，解得，
综上，实数k的取值范围是，故B正确；
对于C，，则，即，
所以，
因为，所以函数在上单调递减，
当时，，所以，则函数的值域为，故C错误；
对于D，令，则由得，
由与复合而成，
因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，的开口向上，对称轴为，
所以，故D正确.
故选：ABD
12．
先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率．
【详解】二次函数的图象不经过第四象限，
则对称轴且或顶点纵坐标，
即或，
由题意，两次摸球的数字组合可能有：
，共9种，
其中符合条件的组合有，共5种，
所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为.
故答案为：.
13．/
利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】.
故答案为：.
14．
利用指数和对数的运算法则求解即可.
【详解】由题可得：，
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)4
(3)证明见解析
（1）根据单调性的定义，按照步骤证明即可；
（2）先利用定义法判函数的单调性，然后利用基本不等式求出的最小值，由题意，将化为，利用基本不等式求最小值即可；
（3）结合（2）利用基本不等式得求出的最小值，，根据消去a即可证明.
【详解】（1）当时，，
设，且.
则，
因为，所以，所以.
所以，
所以在为减函数；
（2）因为，所以，
任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为，当且仅当时等号成立，
因为方程有且仅有一个实数根，
所以，即，
则，当且仅当即时取等，
所以的最小值为4；
（3）因为当时，，当且仅当时等号成立，
由题意知，，
所以，即.
16．(1)
(2)
(3)
（1）直接待定系数法求解即可；
（2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得；
（3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可.
【详解】（1）由题意知，，即，解得：
所以，
（2）由（1）知，，
所以，即，
所以，令，
则，
解得；解得，
所以，的解集为，即，解得，
所以不等式的解集为
（3）由得函数，
当时，，
故，
当时，
因为对任意，存在，使得成立，
所以是的子集，
所以，即，
所以实数的取值范围为
17．(1)，平均年龄为31.75；中位数为31
(2)
（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解；
（2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得.
【详解】（1）由题意有：，解得，
设这n人的平均年龄为，
则，
由于前2组的频率为，
前3组的频率为，
则中位数在，设中位数为，
则，解得，则中位数为31.
（2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组抽取人，记为（乙），，
对应的样本空间的样本点为：
，共包含15个等可能的样本点，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，共包含9个等可能的样本点，
所以.
即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为..
18．(1)，.
(2)
(3)92
（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解；
（2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算 求对勾函数最值即可求解根；
（3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解．
【详解】（1）
.
令，，则，，
故的单调递增区间为，.
（2），即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，
因为，则，
由对勾函数的性质知在上单调递减，
又，所以，
则的最大值为，故.
（3）令，
，，
令，又，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，的图象与直线共有6个交点，即，
，
.
19．(1)或
(2)
(3)
【详解】（1）（方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而；
当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求；
若的定义域内不含，则，于是；
当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求.
综上，实数的所有可能值是1或.
（方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有，
故，即，
去分母整理，得到，即，解得，
经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而.
（2）当时，知，故函数的定义域为，
注意到，因为，所以，即，
所以的值域为.
（3）当时，，注意到单调递减，因此单调递增.
故，即从而关于的方程有两个互异实根.
令，则，所以方程有两个互异正根，
所以从而.
综上，实数的取值范围是.