陕西省渭南市重点高中2025-2026学年高一上学期1月月考试题 数学(含答案）

这是一份陕西省渭南市重点高中2025-2026学年高一上学期1月月考试题 数学(含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人D．30人，50人，10人
6．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题：“，”的否定是“，”
B．若函数的值域为，则a的取值范围是
C．函数的值域为
D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
三、填空题
12．已知函数，则的值是 .
13．已知是定义在上的奇函数， 当时，，则的值为 .
14．若是奇函数，则 ， ．
四、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)
16．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的单调区间，并求最大值.
17．已知全集为实数集，集合，.
(1)求集合A、B；
(2)求，.
18．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围．
19．已知函数的图象经过点，.
(1)证明：函数的图象是轴对称图形；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若函数有且只有一个零点，求实数的值.
1．D
利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.
【详解】由，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D．
2．C
由函数解析式可得其单调性，根据零点存在性定理，可得答案.
【详解】由函数，则易知函数在上单调递增，
由，，，，，
即，则函数在内存在零点.
故选：C.
3．A
根据对数的运算性质求解即可.
【详解】,
故选：A.
4．C
将的零点个数转化为函数和的图象的交点个数.
【详解】令，则，
在同一坐标系下分别画出函数的图象，
因为，
，
在定义域上都是增函数，
且随着自变量的增大，函数的增长速度远大于的增长速度，
所以的图象有两个交点，
所以的零点个数为2.
故选：C.
5．B
先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数.
【详解】解：先求抽样比＝，
再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30（人），乙校抽取5 400×＝45（人），丙校抽取1 800×＝15（人），
故选：B.
6．A
根据给定条件，求出，再由函数单调性及奇偶性判断即得.
【详解】由函数的图象过点，得，而且，解得，
函数定义域为，显然是偶函数，
当时，在上单调递增，选项BCD不符合，A符合.
故选：A
7．A
利用分段函数的单调性定义可得，解之即得．
【详解】根据题意，是上的减函数，
则，解得，
即a的取值范围为
故选：A.
8．B
求出点坐标，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】函数的图象恒过定点，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为10.
故选：B
9．AB
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.
【详解】对于A，因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
对于B，因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确；
对于对于Cc，因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误；
对于D，因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
由特称命题的否定可得A；由对数型复合函数的单调性可判断B；由指数型复合函数的单调性可得C；由括号内定义域相同可得D.
【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，因为函数的值域为，
所以内层函数能取到所有正实数，即，
所以a的取值范围是，故B正确；
对于C，因为，又指数函数为减函数，
所以函数的值域为，故C错误；
对于D，因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为，故D正确；
故选：ABD.
11．AB
根据对数型复合函数的性质分别判断.
【详解】A选项：因为的定义域为，所以恒成立，则，解得：，故正确；
B选项：因为的值域为，所以，所以，
解得，故正确；
C选项：因为函数在区间上为增函数，由复合函数的单调性可知：
在区间上为增函数，且在该区间上恒成立，
当符合题意；
当，则，解得；所以，故错误；
D选项：当时，，由，可得，解得：，故错误；
故选：AB.
12．
根据给定的分段函数，依次判断并代入求出函数值.
【详解】函数，则，
所以.
故答案为：
13．
先利用奇偶性得，再代入计算即可.
【详解】是定义在上的奇函数,
,
又当时，，
.
故答案为：.
14． ； ．
根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
15．(1)3
(2)
(3)1
（1）利用对数和指数的运算性质可计算出所求代数式的值；
（2）利用对数和指数的运算性质可计算出所求代数式的值；
（3）利用对数和指数的运算性质、换底公式可计算出所求代数式的值.
【详解】（1）
（2）
（3）
16．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为.
（1）根据对数的真数大于0列式求函数的定义域.
（2）根据“同增异减”判断复合函数的单调区间，并根据单调性求函数的最大值.
【详解】（1）由.
故所求函数的定义域为.
（2）因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，取得最大值4.
又在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的最大值为，当时取等号.
因此该函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为.
17．(1)；或
(2)或；或
（1）由指数函数和对数函数的单调性解不等式可得；
（2）由集合的运算可得.
【详解】（1），
，
所以，解得或，
所以或.
（2）或或或，
或或或.
18．(1)
(2)
（1）由，再令，得到利用二次函数的性质求解；
（2）由（1）得到，根据题意，由求解.
【详解】（1）解：，
，
令，则，
所以的值域为；
（2）由（1）知：，
因为关于的不等式恒成立，
所以，即，且，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，，解得，.
所以.易知的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形.
（2）不等式可化为，即，
解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为.
（3）由（1）可知，，
由题意可知，，得，即，
令，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.