2026届北京市丰台区高三上学期期末统一检测数学试卷（学生版）

这是一份2026届北京市丰台区高三上学期期末统一检测数学试卷（学生版），共6页。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A. 0B. 1
C. D. 2
3. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. 60D. 240
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若对任意实数，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是公比不为1的等比数列，，若，，成等差数列，则（ ）
A. B.
C. 8D. 16
7. 已知、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”.下列说法错误的是（ ）
A. 具有“性质”的一次函数存在且有无数个
B. 具有“性质”的二次函数存在且有无数个
C. 存在，使函数具有“性质”
D. 对任意，函数都具有“性质”
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数则______.
12. 已知双曲线，其离心率为______；若直线与双曲线没有公共点，则的一个取值为______.
13. 在中，，，且，则的面积为______.
14. 现有一块长为22cm，宽和高均为3cm的长方体木料，如图1所示.工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图2所示的几何体.已知cm，，二面角的大小为，则图2所示的几何体的体积为______.
15. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和满足.给出下列四个结论：
①；②、、成等比数列；
③数列是等差数列；④数列中存在无穷多项小于.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域.
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，，、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表：
（1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率；
（2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望；
（3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明）
19. 已知、是椭圆的左、右焦点，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为第一象限内上的动点（不与重合），直线、分别交直线于点、.求的值.
20. 已知函数.
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若，讨论的单调区间；
（3）若，证明：当时，曲线在处的切线总在曲线的上方.
21. 设为正整数，集合.对于集合中的元素和，记
为元素与的相异系数.
（1）当时，写出与元素的相异系数为的所有元素；
（2）当时，证明：对于集合中任意个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于；
（3）当时，集合中是否存在个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于？请说明理由.