2026届北京市东城区高三上学期期末统一检测数学试卷（学生版）

这是一份2026届北京市东城区高三上学期期末统一检测数学试卷（学生版），共8页。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D. 5
3. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 15
4. 在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设函数，则（ ）
A. 是偶函数，且在区间上单调递增
B. 是奇函数，且在区间上单调递增
C. 是偶函数，且在区间上单调递减
D. 是奇函数，且在区间上单调递减
6. 已知圆经过点，则圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
7. 设函数，若在区间上的最大值为9，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
8. 设函数，则“的值域为”是“存在实数，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中冷却系数是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数．现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却．水杯先在开盖状态下放置min，随后加上盖子继续放置min，此时水温降至40℃．已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01．若，则的值约为（ ）（参考数据：）
A. 10B. 20C. 30D. 40
10. 如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 在的展开式中，的系数为_____________．（用数字作答）
12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则_____________．
13. 已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________．
14. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________．
15. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论：
①存在，使得；
②存在，使得且；
③若，且为增函数，则；
④若，且为奇函数，为偶函数，则．
其中正确结论的序号是_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在锐角中，．
（1）求的值；
（2）若为边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的长．
条件①：；
条件②：的面积为；
条件③：的周长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面
，为的中点，为棱上一点．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为．若，求的值．
18. 某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为．
（1）若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率；
（2）若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望；
（3）若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．设是椭圆上一点，且在第一象限，．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知不与轴垂直．延长分别与椭圆交于点，若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，求的值．
20. 设函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，
（i）求的极值；
（ii）若，求证：关于的方程在上无解．
21. 已知数列为有穷整数数列，定义变换：将的第项与第项同时减1，其余项不变，所得数列记作．对依次进行变换后，所得数列记为．
（1）已知，直接写出；
（2）已知，若存在变换使得的各项均为0，求的值；
（3）已知为偶数，的各项均为正整数，且对任意的变换，当中的各项均为非负整数时，都有中等于0的项的个数不大于，求的各项之和的最小值．