上海市奉贤区2025学年九年级数学一模试卷（含答案解析）

这是一份上海市奉贤区2025学年九年级数学一模试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题，计算等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．如果a、b满足，那么下列各式正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．在Rt△ABC中，，AB=c，AC=b，BC=a，那么下列各式正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．已知抛物线经过点和，那么m的值是
（A）2； （B）-2； （C）8； （D）-8．
4．如果、都是非零向量，且//，那么下列结论中一定正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
图1
5．如图1，四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，E是边BC的中点，联结DF、AG．如果DF⊥AG，BC=4，那么AB的值为
（A）； （B）； （C）； （D）．
6．一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么
工人师傅做的这个三角形的周长是
（A）80 cm； （B）67.5 cm； （C）60 cm； （D）52.5 cm．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：= ▲ ．
8．已知抛物线与抛物线关于x轴对称，那么a的值是 ▲ ．
9．如果二次函数的图像有最低点，那么的取值范围是 ▲ ．
10．某汽车的紧急刹车距离s(米)与车速v(千米/小时)的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过 ▲ 千米/小时．
11．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC．如果AD:BD=2，那么DE:BC的值是 ▲ ．
12．如图2，已知直线l1、l2、l3 分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3．已知DE = 4，DF =10，BC= 5，那么线段AC的长是 ▲ ．
13．小华在某游乐园APP的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是1:1000，那么排队区域的实际长度约 ▲ 米．
14．景区新建了一条通往山顶观景台的缓坡步道，设计要求是坡度为1:2.4，施工方测得观景台距离地面的垂直高度为10米，为满足设计要求，这段缓坡步道的长度应为 ▲ 米．
15．如果一个等腰三角形腰上的高与底边的高的比为2:3，那么这个等腰三角形底角的余弦值是 ▲ ．
16．小海操控一辆遥控玩具车从A处沿北偏东60°方向走了6米到B处，再从B处向正南方向走了9米到达C处，此时这辆遥控玩具车离A处的距离是 ▲ 米．
17．如图3，矩形ABCD的面积为18，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是 ▲ ．
18．如图4，在△ABC中，AB=AC=5，，将△ABC绕点A旋转，B的对应点为点D，联结AD交边BC于点E．如果AE=3ED，那么CE的长为 ▲ ．
图3
图2
C
B
A
图4
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分，第(1)小题7分，第（2）小题3分）
数学课上老师给同学们出示了一条抛物线，甲、乙、丙三位同学分别用一句话描述了它：
甲：这条抛物线的对称轴是直线x=2；
乙：将这条抛物线向下平移2个单位，会经过原点；
丙：这条抛物线在对称轴的右侧部分是下降的；
（1）如果这三位同学关于这条抛物线的描述都是正确的，请你写出一个同时满足这些描述的抛物线的表达式，并求出此时它的顶点坐标；
（2）请你根据老师给出的这条抛物线，再写出一个正确结论．（与三位同学的描述不一样）
21. （本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
图5
如图5，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD上，AE=EF=FD，BE与AC交于点G，BE的延长线与CF的延长线交于点Q．
（1）求；
（2）设，，那么= ▲ ，
= ▲ ．（用向量、表示）
22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫作“内邻值”．
（1）如图6-1，正方形BEFG是正方形ABCD的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”；
（2）请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图6-2和6-3的正方形ABCD中分别作出它的内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹）
A
B
C
D
图6-2
A
B
C
D
E
F
G
图6-1
A
B
C
D
图6-3
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
A
B
C
D
E
F
图7
如图7，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE相交于点F，且CD=BD，AE=AC．
（1）求证：△ADF∽△CDA；
（2）联结DE．如果，求证：．
24．（本题满分12分，每小题4分）
在平面直角坐标系中（如图8）．抛物线与x轴交于点
A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D（1，m）．
（1）求点B的坐标及m的值；
y
x
O
图8
（2）将抛物线沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为E．
= 1 \* GB3 ①如果四边形ABDE是梯形，求点E的坐标；
= 2 \* GB3 ②如果∠EAC=∠CBD，求平移后新抛物线的表达式．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第(2)、(3)小题每题5分）
如图9，在▱ABCD中，∠B是锐角，AE⊥BC，垂足为E，对角线AC垂直平分线MN交AD于点M，交AE的延长线于点N，交AC于点P．已知AD=8，CD=5．
（1）在△ABE、△AEC、△APN中，
= 1 \* GB3 ①写出与△AMN一定相似的三角形，并选一对说明理由；
= 2 \* GB3 ②写出与△AMN不一定相似的三角形，如果它与△AMN相似，求出它们的相似比；
A
D
B
E
图9
P
N
C
M
（2）如果AE=EN，求∠B的正弦值．
2025学年度第一学期九年级数学练习卷参考答案及评分说明（202601）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C； 2．C ； 3．B； 4．A ； 5．D； 6．B .
填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
三、解答题（本大题共7题，其中19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）
19．解：原式=
= ．
20．（1）解：设满足条件得抛物线的表达式为：．
由题意得 ，若 ，则．
所以满足条件的抛物线表达式可以是：．
此时，它的顶点坐标是（2，6）．
（2）正确结论可以是：开口向下；抛物线与x轴有两个公共点；
在直线x=2的右侧上升等等．（答案不唯一）
21．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∴ ，． ∵AE=EF=DF，∴ ，．
∴ ，．
设，则，．∴ ． 解得．（1分）
∴ ．
(2) ．．
22．解：（1）设正方形ABCD的边长为a(a≠0)，则它的面积为．
∵在Rt△BCG中，．∴．
∴正方形EFDG的面积为．
∴正方形EFDG与正方形ABCD的的“内邻值”为 ．
A
B
C
D
E
F
G
（2）两种作法，每一种3分，共6分．
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
图6-3
A
B
C
D
E
F
G
图6-1
A
D
G
F
E
C
B
图6-2
A
B
C
D
图6-3
A
B
C
D
E
F
G
图6-1
A
D
G
F
E
C
B
图6-2
A
B
C
D
图6-3
A
B
C
D
E
F
G
图6-1
A
D
G
F
E
C
B
图6-2
A
B
C
D
图6-3
A
B
C
D
E
F
G
图6-1
A
D
G
F
E
C
B
图6-2

所以正方形BEFG就是所要作的正方形.
23．（1）∵CD=BD，∴∠B＝∠DCB．
∵AE=AC，∴∠AEC＝∠ACB．
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACB＝∠DCB+∠ACD，
∴∠BAE=∠ACD． ∵∠ADF=∠CDA， ∴△ADF∽△CDA．
(2)联结DE．
∵，∴DE//AC．∴∠BDE＝∠DAC．
∵△ADF∽△CDA，∴∠DFA＝∠DAC，．
∴∠BDE＝∠DFA．∴∠ADE＝∠CFA．
∵∠BAE=∠ACD ，∴△ADE∽△CFA．
∴．∴． ∴．
∴．
24．（1）由题意得抛物线的对称轴为x=1．又∵点A（-1，0），∴点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），顶点为D（1，m），
∴ 解得 ∴抛物线的表达式为．
当x=1时，m=4．
（2） = 1 \* GB3 ①由题意得B（3，0），C（0，3），∴直线BC的表达式为．
设直线DE解析式为y=-x+b，又D（1，4），解得b=5．
∴直线DE的表达式为．可设点E的坐标为（m，-m+5）．
∵四边形ABDE是梯形，DE不平行于x轴，∴AE∥BD．
过点E、D作EN⊥x轴、DM⊥x轴，垂足为N、M，则∠ENA=∠DMB=90°．
又∠EAN=∠DBM，∴△EAN∽△DMB．∴．
∵EN=-m+5，AN=-1-m，DM=4，BM=2，∴，解得．
∴点E的坐标为（-7，12）．
= 2 \* GB3 ②∵由题意得：，，∴．∴∠BCD=90°．
∴在Rt△BCD中，．
∵在Rt△ACO中，．∴∠CBD=∠ACO．
∵∠EAC=∠CBD，∴∠EAC=∠ACO．∴EA∥OC．
∴点E的横坐标为-1．
又∵直线DE的表达式为，∴点E的纵坐标为6，即点E的坐标为（-1，6）．
∴平移后新抛物线的表达式为．（或）
25. （1）①与△AMN一定相似的三角形是△AEC、△APN．
证明△AMN∽△AEC．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC．∵AE⊥BC，∴∠MAN=∠AEC=90°．
∵MN垂直平分AC，∴∠AMN+∠MAP=90°．
∵∠EAC+∠MAP=90°，∴∠AMN=∠EAC．∴△AMN∽△EAC．
或者证明△AMN∽△APN．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC．∵AE⊥BC，∴∠MAN=90°．
∵MN垂直平分AC，∴∠APN=90°．∴∠MAN=∠APN =90°．
∵∠N=∠N，∴△AMN∽△PAN．
②与△AMN不一定相似的三角形是△ABE．
计算过程：∵∠AEB=∠MAN=90°，
∵如果△ABE∽△AMN，只可能是∠BAE=∠N，或∠BAE=∠AMN．
当∠BAE=∠N时， AB//MN．
∵∠N+∠PAN=90°，∴∠BAE+∠PAN=90°，即∠BAC=90°．∴．
∵AD=BC=8，CD=AB=5，∴，∴．
∵AB//MN，AP=AC，∴AM=4．∴△EBA与△AMN的相似比为．
当∠BAE=∠AMN 时，∵∠AMN=∠PAN， ∴∠BAE=∠CAE．
∵AE⊥BC， ∴∠AEB=∠AEC=90°．
又∵AE=AE，∴△ABE≌△ACE．∴AC=AB=5，BE=CE=4．∴AE=3．
∴．
在△APN中，设 ，则，．∴，，．
∴△EAB与△AMN的相似比为．
（2）∵∠PAN=∠EAC，∠APN=∠AEC=90°，
∴△APN∽△AEC． ∴．
设，则．又∵，
∴． ∴．
∴．∴．
在Rt△ABE中，，∴．
解得（不合题意，舍去），，即．
∴．
7. ；
8. ；
9. ；
10. 50；
11．；
12. ；
13．25；
14．26 ；
15．；
16．；
17．4；
18．或．