2025年上海市奉贤区九年级中考一模数学试卷

这是一份2025年上海市奉贤区九年级中考一模数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（ ）
A．B．C．D．
2．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（ ）

A． B．
C． D．
5．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是( ).
A．B．C．D．
6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．已知，那么= ．
8．函数的定义域是 ．
9．已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ．
10．已知正比例函数，如果y的值随着x的增大而增大，那么m的取值范围是 ．
11．已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ．
12．在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ．
13．如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ．
14．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．
15．如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是 ．
16．等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ．
17．二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为 ．
18．如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ．
三、解答题
19．计算：
20．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式．
21．如图，，与相交于点，点F在上，．
(1)求的长；
(2)设，用含的式子表示．
22．桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米．
(1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度；
(2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
23．已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F．
(1)求证：；
(2)若点O为边的中点，连接，且，求证：．
24．在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B．
(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标；
(3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长．
25．如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M．
(1)当点E在线段上时，求的正切值；
(2)当G是中点时，求的值；
(3)当，且与相似时，直接写出的长．
《2025年上海市奉贤区九年级中考一模数学试卷 》参考答案
1．C
【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得是俯角的是．
故选：C．
2．A
【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．
【详解】A选项=，故正确
B选项=，故错误
C选项=，故错误
D选项=，故错误
故选：A
【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．
3．D
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵一次函数，其中常数、，
∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
4．B
【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可．
本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，
A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，
此选项不符合题意；
B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似，
此选项符合题意；
C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，
此选项不符合题意；
D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似，
此选项不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得到==；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得=，由此可判断A选项中的比例是错误的．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，
∴==，而AB=CD，
∴==；
又∵AF∥BC，
∴=．
故选A．
6．C
【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求；
当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小．
7．
【分析】根据可得，代入原式即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
那么．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y的值或者用其中一个未知数表示另一个未知数进而求解是解题关键．
8．
【分析】本题考查了分式有意义的条件、求函数的定义域，根据分式有意义的条件得出，求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，则分母，
即，
∴函数的定义域是，
故答案为：．
9．/
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度、坡角问题，由题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可．
【详解】解：∵坡度，
∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，
∴由勾股定理可得斜坡长度为，
∴，
故答案为：．
10．/
【分析】根据正比例函数y的值随着x的增大而增大，得出，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质，正比例函数，当时，y的值随着x的增大而增大，当时，y的值随着x的增大而减小．
11．
【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键．
根据向量的表示方法进行解答即可．
【详解】解：∵的长度为，向量是单位向量，
∴，
又∵向量与的方向相反，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答．
本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点P作轴于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
13．
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，则，
∵是与的比例中项，
∴，
整理，得
解得
∴，（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解．
【详解】解：原正方形面积为（平方厘米），
边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米，
则，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，推出，再证，则．
【详解】解：点是的中点，
，
是的角平分线，
，
又，即，
，
；
，，
，
，
和的面积比是，
故答案为：．
16．3
【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解．
【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点，
由题意得，点为的重心，
∴为中点，
∵，
∴，
∵，为中点
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴设，则，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．/0.6
【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可．
本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是抛物线图象上的点，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴抛物线变形为，
把代入得；
把代入，得，
∴．
故答案为：．
18．4或
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形判定方法是解题关键，分两种情况讨论分别根据相似三角形性质分别求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似，
当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，则有，
∴，即，
又，
∴；
同理，当分的两个三角形相似存在
当时，有，
∴，
同理，当时，，
∴，
又，
∴，
∴；
综上，的长是4或．
19．
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值逐个求解，再利用二次根式运算，最后根据有理数加减运算求解即可得到答案．
【详解】解：
．
20．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为 ，
∵经过点，
∴，
∴反比例函数为，
设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ，
解得：或，
则三倍点为或，
把，，代入二次函数得：
解得，
∴二次函数解析式为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算．
（1）根据可得，得出根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可得出结论；
（2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的性质可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
，
∵与高相同，
∴．
∴
∴
又∵
∴
∴．
∴
（2）∵，，，
∴，
∵
∴
∴
∴
又∵，则，
∴
∴，
∴
22．(1)米
(2)米
【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可．
（2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可．
【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N，
∵，，
∴（米），
∴（米），
∴，
∵，米，
∴，米，
∴米，
设与地面的交点为G，
则米，四边形是矩形，
∴，
∵米，
∴米，
∴米．
（2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，
过点O作于点K，
则米，四边形是矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
根据（1）得（米），
∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．
【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，证明，得到，，结合可以证明，继而得到，证明，结合证明，等量代换即可证明．
（2）在上截取，连接，证明，再三角形相似，平行线的判定证明，解答即可．
【详解】（1）证明：∵是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，比例中项的意义，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解；
（2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解；
（3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为，
将直线向下平移5个单位后得到的解析式为，
∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，
∴在中，当时，，即；
（2）解：在中，令，则，即：，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点的横坐标为，
如图，作轴于，轴于，
，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为，
∴；
（3）解：将代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设，则新抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图，点在直线上，作轴于，
，
则，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)当，且与相似时，的长为或．
【分析】（1）先证明，推出，得到，再证明，得到，再利用正切函数的定义即可求解；
（2）证明点四点共圆，得到点是矩形的中心，再证明四边形是菱形，设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可；
（3）分两种情况讨论，当点E在线段上时，设，则，证明，推出，再证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长；当点E在延长线上时，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，
由（1）得，
∴点四点共圆，
∴，
∵G是中点，
∴点是矩形的中心，
∴点三点共线，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
设，则，
再设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴，当点E在线段上时，
∵，
∴当时，，
∵点四点共圆，
∴，
∴，
设，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
当点E在延长线上时，
∵，
∴当时，，
同理点四点共圆，
∴，
∵，
∴，，
设，
同理得，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴；
综上，当，且与相似时，的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
A
D
B
A
C