河南省南阳市第五中学校2025-2026学年高一上学期北师大版数学寒假强化练习卷（含答案）

这是一份河南省南阳市第五中学校2025-2026学年高一上学期北师大版数学寒假强化练习卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列关系中，正确的个数是（ ）.
①；②，；③；④.
A．1B．2C．3D．4
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ ，则b－a等于( )
A．1B．－1
C．2D．－2
3．下列图象中，不可能成为函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，且，则不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
8. 若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质P．已知函数具有性质P，则不等式的解集为（ ）
A．B． C．D．
二、多选题（每小题6分）
9. 设，则的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
10. 下列选项中为真命题的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．函数的最小值为3
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为2
11. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列说法正确的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在使得对任意正数，都有不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
三、填空题（每小题5分）
12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．
13．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．
14．已知函数，若，且，则__________．
三、解答题（共77分）
15．（13分）某教育主管部门到一所中学检查高三年级学生的体质健康情况，从中抽取了名学生的体质测试成绩，得到的频率分布直方图如图所示，的原始成绩按性别分类所得的数据如下：
男生：41 52 64 66 67 64 65 女生：42 51 51 53 63 62 64
（1）求的值；
（2）估计该校高三学生体质测试成绩的平均数和中位数；
（3）若从成绩在的学生中随机抽取两人重新进行测试，求至少有一名男生的概率．
16．（15分）画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像并写出函数的单调区间．
17．（15分）已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
18.（17分）已知函数，且．
（1）求实数的值，并判断在定义域内的单调性，请说明理由；
（2）对于恒成立，求实数的取值范围．
19. （17分）已知函数，满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）已知为奇函数，为偶函数，函数；若存在使得，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断.
【详解】
对于①，是集合中的元素，即，故正确；
对于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正确；
对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误；
对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误.
故选：B
【点睛】
本题考查了元素与集合、集合与集合的符号表示，考查了集合中的基本知识，属于基础题.
2．C
【解析】
根据题意，集合，且，
所以，即，
所以，且，
所以，则，故选C.
点睛：本题主要考查了集合运算的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利用找到解题的切入点是解答此类问题的关键，本题的解答中根据集合相等，注意到后面集合中有元素，由集合相等的定义，集合集合中元素的特征，可得，进而分析可得的中，即可得到的值.
3．A
【解析】
根据函数的概念，可知自变量与函数值的对应关系只能是：一对一和多对一，不能是一对多，由此可对本题求解.
【详解】
由选项中的图象可得，选项中有一个自变量的值对应两个函数值，
所以其不可能成为函数图象.
故选：A
【点睛】
本意考查函数的概念，考查理解辨析能力，属于基础题.
4．D
【解析】
因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.
5. C
【详解】
函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 解得
故答案为C
【点睛】
本题考查了函数定义域，属于简单题.
6．A
【解析】
由，可得，消去可得的解析式.
【详解】
解：由题意： ①
可得： ②，
②①，可得：，
可得：，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，由题意得出，结合题意消去，可得答案.
7．C
【解析】
当时，，方程无解；
当时，令，解得．
下面解不等式：
当时，，解得；
当时，令，解得．
因此，不等式不等式的解集为.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小．特别注意的最小值大于等于的最大值，属于中档题.
8. D
【解析】
不妨设，则，即，即对任意的，都有，所以函数在上单调递减，由的定义域为，得，解得；而，即，即，所以，解得：，故的解集为.
9．AB
【解析】
根据“小充分大必要”得到答案.
10. BC
【解析】本题考察基本不等式：一正二定三相等
A选项中缺少条件；
B选项：因为 ，所以函数，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为3；
C选项中函数是单调递增的，所以函数的最大值为
D选项：函数，当且仅当时取等号，显然取不到，可令，此时，由对勾函数的单调性可知，函数在上是单调递增的，所以最小值为．
11.ACD
【解析】
A选项，由若，可得，所以，故是3阶聚合点集；
B．对于任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集；
C．若，而，故不是阶聚合点集
D．当，因为，则，所以，故是阶聚合点集，充分性成立；
当是阶聚合点集，则有，，所以，又因为，当时，恒成立，当时，恒成立，又，故，故必要性成立，所以“”是“是阶聚合点集”的充要条件．
12．
【解析】
解：当k=0时，，满足条件；当时，
综上：．
【点睛】：定义域为分母在上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．
13. 2
【解析】解：不妨设，画出示意图，
由图像可知，关于对称，关于对称，所以，，，显然，，，，又因为，不妨令，即，整理可得：
14.
当时，则图像的对称轴为直线，函数的大致图像为：，此时，，即，所以无解，则无零点，无零点，所以，只有两个零点，不合题意；
当，则函数的大致图像为：
令，解得，显然在上存在唯一负解，要使恰有3个零点，只需在上除了0和2外不能有其他解，即不能再有除了0和2外的其他解，故，即，解得：
15．解：（1）由数据可知分数在的有4人，所以，所以，又因为，解得
（2）由频率分布直方图可知，平均数；
由，得中位数为
（3）成绩在的学生中有两名男生，分别记为，四名女生，分别记为，从中任取两人共有15种结果，分别为
；至少有一名男生的结果有9种，所以至少有一名男生的概率为
16．见解析
【解析】
试题分析：取绝对值得分段函数，进而可作出图象得单调区间.
试题解析：
y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1)，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
17．（1）；（2）5；（3）.
【解析】
（1）由题知，满足，得，由，根据系数对应相等求出和，即可求出函数的解析式；
（2）根据二次函数得出的图象的对称轴方程为，又，，即可求得函数在区间上的最大值；
（3）由于函数在区间上单调，根据函数的单调性，得到关于的不等式，解出即可．
【详解】
解：（1）由，得，
由，得，
故，解得，
所以.
（2）由（1）得：，
则的图象的对称轴方程为，
又，，
所以当时在区间上取最大值为5.
（3）由于函数在区间上单调，
因为的图象的对称轴方程为，
所以或，解得：或，
因此的取值范围为：.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及函数的单调性，最值问题，考查计算能力．
18. 解：（1）由，可得：；则，要求函数的定义域，只需，即；
函数，令在上单调递减，在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可知：函数在定义域上为减函数.
（2）由（1）可知，所以，即在上恒成立，只需，，所以实数的取值范围为
19. 解：（1）因为，所以，解得：，所以
（2）由（1）知，，所以，令，令，所以在上单调递减，所以，，所以实数的取值范围为
（3）因为为奇函数，为偶函数，所以，由题意知：，解得：，将其代入，可得，易知，令，则，，因为存在使得成立，所以，所以实数的取值范围为．