湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若是空间不共面的三个向量，则可以与向量和向量构成空间一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
故、、共面，、、共面，故AB错误；
因为，即、、共面，故D错误；
假设、、共面，则存在实数、，使得，
所以，，则、、共面，与题设条件矛盾，
故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底，故C正确.
故选：C
3. 从长度为的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从长度为的4条线段中任选三条，
共有，共4种结果，这些结果等可能出现．
要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边，
故只有：这3种可能，故所求概率为．
故选：A．
4. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于椭圆，其中，，
根据蒙日圆方程，
可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径.
圆，其圆心坐标为，半径.
因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切.
当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.
两圆的圆心距，由，即，，两边平方得，解得，.
当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值.
由，即，两边平方得，（无解）.
所以的值为.故选：B.
5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于空间向量，，
则向量在向量上的投影向量为
.
故选：.
6. 已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，
由，，
所以圆心到原点距离的最小值是．
故选：B．

7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于正三棱台，设上底面所在圆面半径为，下底面所在圆面半径为.
对于正三角形，其外接圆半径与边长的关系为.
上底面边长，则.
下底面边长，则.
设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为
因为正三棱台的高，且.
根据和.
设，则或.
由和可得： ,解得.
把代入，得.
根据球的表面积公式.
把代入可得.
故该球的表面积为.
故选：A.
8. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：

由题意得，又，则，
因为，BF1+BF2=2a，则，，故，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，化简得，即，
解得.故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙两人各投掷一枚骰子一次，下列说法正确的是（ ）
A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得5点”是互斥事件
B. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C. 事件“甲投得奇数点”与事件“乙投得偶数点”是对立事件
D. 事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件
【答案】ABD
【解析】在A中，甲、乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得1点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，A正确；
在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得1点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件，B正确；
在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲投得奇数点”与件“乙投得偶数点”可同时发生，故不是对立事件，故C错误；
在D中，“甲投得1点”的概率为，“甲、乙点数之和为7”，
包括共有6种情况，概率为，
“甲投得1点且甲、乙点数之和为7”只包括这种情况，故概率为，由于，
故事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件，D正确.
故选：ABD．
10. 已知点在圆上，点，则（ ）
A. 点到直线AB的距离最小值为
B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为
C. 当最小时，
D. 当最大时，
【答案】BCD
【解析】因为圆的圆心，半径，
且，则直线方程为，
即，
则圆心到直线的距离，
所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误；
在中，，
当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为，
则，故B正确；
如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值，
此时，切线长，
其中，则，故C,D正确；
故选：BCD.
11. 在棱长为2的正方体中，为侧面正方形的中心，点为平面ABCD上的一点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若点P在棱BC上运动，则三棱锥的体积为定值
B. 若点在棱BC上运动，则最小值为
C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D. 若点满足，则的面积最小值为
【答案】ACD
【解析】A，由，面，面，则平面，
所以直线BC上任意一点到平面的距离都相等，而的面积为定值，正确;
B，若将平面展开与底面ABCD共面，此时错误；
C，由面，面，则，又，
由且都在面内，则平面，只需面，
则恒有，所以的轨迹为直线AB，正确；
D，如图，取AB中点F，BC中点，易证，
所以，易得，
而面，面，则，
又且都在面内，得平面，
由平面，所以，
在等腰中且为中点，得，
且都在面内，所以平面，
所以，只需平面，恒有，即在直线FC上运动，
由得，当为DG与CF的交点，时，的面积最小值为，正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某篮球运动队有8名运动员，身高（单位：cm）如下：186，194，216，198，192，201，211，208，则身高从低到高的第30百分位数是_______________cm.
【答案】194
【解析】由题意，将身高从小到大排序为186，192，194，198，201，208，211，216，
因为，所以第30百分位数是194，
故答案为：194.
13. 已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为_______________.
【答案】
【解析】由题意，且，而，已知圆的半径，
所以，
故的轨迹是以为焦点，且焦点在轴上的椭圆，，即，
所以轨迹方程为.
14. 三棱锥中，，，，直线BD与AC所成的角为，则该三棱锥的体积为_______________.
【答案】
【解析】依题可知，△，△均为直角三角形，其中，，
则在△中，，即，
△中，，即，
所以
，
所以，，
所以，，
又因为，平面，且，，，
所以平面，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过三点.
（1）求圆的标准方程;
（2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程.
解：（1）依题知OA，AB的垂直平分线方程分别为：，
而圆的圆心为OA，AB的垂直平分线的交点，
所以圆心坐标为，半径为，
所以圆方程为:.
（2）若直线轴，其方程，与圆相交于两点，弦长为2，满足题意；
若直线不与轴垂直，设，
记圆心到的距离为，则，由，解得，
则，
所以直线方程为：或.
16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为．
（1）求的值；
（2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；
（3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．
解：（1）设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，
则
设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语”
，解得
（2）由（1）知，
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立，
则
所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为.
（3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”，
则
所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率.
17. 如图，三棱锥中，，为BC的中点.

（1）证明：;
（2）点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值.
（1）证明：法一：连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以，
因为，所以与均为等边三角形，
所以，从而，
又平面PMA，
所以平面PMA，而平面PMA，
所以.
法二：依题意，
所以.
又，
所以，，
所以.
（2）解：依题意，，
由及得，，
，，
又且平面ABC，
平面ABC.
以点M为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，
，
所以，即有.
设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为,
设平面APB与平面PBN夹角为，
由，得，
取，则；
由，得，取，则；
所以，
故平面APB与平面PBN夹角的余弦值为.
18. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线与椭圆交于M、N两点，求证：为定值;
（3）记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值.
解：（1）由已知得，
又，又.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，设，
联立直线与椭圆有，消元得：
当，即且时，
，
即为定值.
（3）设，设直线BP的方程为，
则直线BQ的方程为，
由，消去得，
，
，
由得
，
，
，
，
整理得：，
，
或.
19. 在平面直角坐标系中，过点Ax0,y0作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线.

（1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程;
（2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标;
（3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积.
解：（1）由已知得，又，
且直线过点，的方程;
（2）设直线的斜率分别为，
则.得（负值舍去），
当时，直线的方程为，直线的方程为
联立得；
（3）设，
得的轨迹方程为:
由图形的对称性，不妨设在轴上方，
则
，
，得，即此时的纵坐标为，
.
所以三角形的面积为.