四川省宜宾市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含解析

这是一份四川省宜宾市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】,
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题“，”的否定是：，，
故选：B
3. 函数则（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，代入即可求解.
【详解】,
故选：B
4. 角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义及正切的二倍角公式计算即可.
【详解】由三角函数的定义知，
所以根据正切的二倍角公式有.
故选：A
5. 函数的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式得：，则函数为偶函数，其图象关于坐标轴对称，B、D错误；
当时，， D错误
故选：A.
6. 已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】为幂函数，则，解得或，
时，；时，
为偶函数，则.
函数在区间上为单调函数，
则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D.
7. 函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ）
A. 7B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可.
【详解】在中，当时，，故，
将代入直线方程中，化简得，
故，
当且仅当‘’时取等，即的最小值为.
故选：C
8. 已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可.
【详解】由题意可知时，，
根据正弦函数的图象与性质知.
故选：D
【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质结合特例一一判定选项即可.
【详解】对于A项，若，则，故A错误；
对于B项，因为，，所以，利用同向可加性有，故B正确；
对于C项，若，，则，故C错误；
对于D项，可利用糖水不等式说明：假设克溶液里有克糖，此时溶液浓度为，
若加入克糖，此时溶液浓度为，显然溶液浓度变大了，即，
或可直接作差得，故D正确.
故选：BD
10. 下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用指数式和对数式的运算规则，化简各算式验证选项.
【详解】，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：ABD
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解析式，判断新图象的对称中心.
【详解】由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确；
，，，
则，由，得，
所以.
当时，，，的值域为，B选项错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，
，函数的图象关于点对称，D选项正确.
故选：AD
12. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 当，时，
B. 对于，，
C. 若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为
D. 函数有6个不同的零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数图象，根据函数单调性和对称性以及零点分布情况一一代入选项分析即可.
详解】作出函数图象如下图所示：
对A，当时，，
时，，
当，时，，
，故A正确；
对B，取，，则，故B错误；
对C，根据函数图象可知当时，有四个不同的实根，
，由得，
由得，则，
则，故C正确；
对D，令，则，令，则，
当时，则，解得或，
当时，，解得，
观察图象知，当或时，直线与函数图象各有一个交点，
当时，直线与函数图象有四个交点，
则函数有6个不同的零点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是利用函数的局部对称性得到，再根据分段函数关系式得到，最后减少变量即可判断整体和的范围.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域的求法：（为偶数）、．
【详解】由题意得
【点睛】常见函数定义域的求法：
（为偶数）
14. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．甲乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”．如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都是20%，那么甲“进步”的是乙“退步”的100倍需要经过的时间大约是________个月（四舍五入，精确到整数）（参考数据：，）．
【答案】11
【解析】
【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解.
【详解】经过个月后，“进步”的是“退步”的比，
所以，两边取以10为底的对数得，解得.
要使“进步”的是“退步”的倍，则大约需要经过11个月.
故答案为：11.
15. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可.
【详解】由，
所以.
故答案为：.
16. 已知函数满足：．若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，________．
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数式，三角函数的图象与性质先计算得，再计算何时取最小值即可得结果.
【详解】易知，
若，由辅助角公式得，
其中，
因为，则，
则，所以，
若，则，
其中，同上，与前提矛盾，舍去，
故，
易知以为对称中心，
根据题意函数在区间上单调，且，则
则当取得最小值时，.
故答案为：.
【点睛】难点点睛：现根据确定的值，得出解析式，利用三角函数的单调性、对称性计算即可.
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解，
（2）根据包含关系即可列不等式求解.
【小问1详解】
由解得，
所以，
当时，，
所以．
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为．
18. 已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）判断的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式．
【答案】（1）在R上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，求出，，，不妨设，求出，判断其正负即可求解；
（2），据此即可求解.
【小问1详解】
由题意知，
所以，经检验满足题意，所以，
，，不妨设，则，
因为，所以，，，
从而，即，所以在R上单调递增；
小问2详解】
由题意，，
于是，解得，所以实数t的取值范围为．
19. 已知．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简可得，再利用弦化切计算可得答案；
（2）对两边平方得，利用平方关系求出，再由两角和与差的正弦公式计算可得答案.
【小问1详解】
由题意可得
，
因为，
所以，
所以；
【小问2详解】
若，则，两边平方得，
所以，由，，
所以，，
所以，
所以．
20. 已知函数，且满足________．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有两个不同解，求实数m的取值范围．
从①的图象与直线的两个相邻交点之间的距离等于；②的两个相邻对称中心之间的距离为．这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式和诱导公式化简函数，由选择的条件利用周期求出，得的解析式；
（2）即，由方程在区间上有两个不同解，利用正弦函数的图象与性质，列不等式求实数m的取值范围．
【小问1详解】
.
若选择条件①：的图象与直线的两个相邻交点之间的距离等于，
函数的的最小值为，则函数的最小正周期为，即，所以，
若选择条件②：的两个相邻对称中心之间的距离为，
则函数的最小正周期为，即，所以，
所以．
【小问2详解】
关于x的方程在区间上有两个不同解，即在区间上有两个不同解，
当时，，所以，
解得，即实数m的取值范围为．
21. 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至2023年8月8日在成都举办．成都大运会吉祥物“蓉宝”以熊猫“芝麻”为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．成都大运会激发了全世界对“国宝”熊猫的喜爱，与熊猫有关的商品销量持续增长．现有某工厂代为加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶，已知该工厂代加工玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入a万元．现根据市场行情，该工厂代加工x万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元．
（1）求该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润y（单位：万元）关于代加工量x（单位：万件）的函数解析式；
（2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润最大？并求出利润的最大值．
【答案】（1）
（2）当代加工量为30万件时，该工厂代加工“蓉宝”玩偶的利润最大，最大利润为95万元
【解析】
【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可；
（2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可.
【小问1详解】
当时，
当时，
因为时，，解得
【小问2详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，
又，
所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工“蓉宝”玩偶的利润最大，最大利润为95万元．
22. 对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点．
（1）判断函数是否为不动点函数，并说明理由；
（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．
【答案】（1）为不动点函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“不动点”函数的概念，结合函数零点的存在性判定方法，判断函数是否为不动点函数.
（2）利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的函数值的问题，结合函数的图象和单调性，判断解的个数.
【小问1详解】
假设不动点函数，则，使得，
令，
易知函数在定义域内为增函数，
且，，
根据零点存在性定理可知，函数在区间上存在唯一的零点，
所以为不动点函数．
【小问2详解】
函数在区间上有且仅有两个不同的不动点，
所以方程在区间上有两个不同的解，
则，
令，因为在区间上单调递增，所以，
所以.
要使与在上有两个交点，则．
又函数在区间上有且仅有1个次不动点，
所以方程在区间上有唯一解，
则，，
令，在单调递增
要使，与在上有1个交点，则．
所以
经检验满足在区间上恒成立，
所以实数b的取值范围为．