四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份四川省宜宾市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，的否定是，.
故选：C.
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知单调递增；
，，所以零点所在区间为.
故选：B.
4. 下列函数中最小正周期为，且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为，偶函数，错误；
对于B，由，偶函数，错误；
对于C，最小正周期为：，错误；
对于D，令，可判断为奇函数，最小正周期为：，D正确.
故选：D.
5. 函数与的图象（ ）
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称
【答案】C
【解析】令，则，
与的图象关于原点对称，、的图象关于原点对称.
故选：C.
6. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A：当时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，即，
故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
故选：D.
7. 稀土是半导体产业重要材料，被称为工业维生素，某稀土元素生产工艺每进行一次提纯可减少杂质10%，要将杂质减少到原来的1%以下，至少需要提纯的次数为（参考数据：）（ ）
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
【答案】C
【解析】设原来杂质含量为，提纯次后杂质含量为.
因为每进行一次提纯可减少杂质，也就是每次提纯后杂质含量变为原来，那么经过次提纯后，杂质含量.
要将杂质减少到原来的以下，即，也就是.
两边取常用对数可得.
则.
又因为，.
所以.
将，代入，.
则.
由于为提纯次数，必须为正整数，所以取44.
故选：C.
8. 已知，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，则函数是偶函数，
当时，，任意，
，，则，
于是，
而，因此，函数在上单调递增，
又
则，所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 以下说法中正确的是（ ）
A. 若角是锐角，则是二象限角
B.
C. 在中，
D. 若角终边关于y轴对称，则
【答案】BC
【解析】对于A，，则，故不一定是二象限角，A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，在中，，故C正确；
对于D，若角终边关于y轴对称，则，故D错误.
故选：BC.
10. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】已知，因为，那么.
设（），则，移项得到.
因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误.
由可得，因为，所以，
当且仅当时取等号，所以C选项正确.
根据完全平方公式，由前面可知，.
，当且仅当时取等号，所以D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则对关于x的方程正确的说法有（ ）
A. 当时，方程只有1个实数根B. 当时，方程有3个实数根
C. 不存在，使得方程有4个实数根D. ，方程都有实数根
【答案】BCD
【解析】解的个数等价于图象交点个数，
作出函数的图象，如图所示：
对于，当时，直线与的图象有2个交点，
所以当时，方程有2个实数根，故不正确；
对于，当时，直线与的图象有3个交点，
所以方程有3个解，故正确；
对于C，由图象可得不存在，使得方程有4个实数根，故C正确；
对于，由图象可知方程始终有解，故正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若角的终边上一点的坐标为，则____________．
【答案】
【解析】由角的终边上一点的坐标为，可得：，
所以.
13. 计算：____________．
【答案】
【解析】
.
14. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】作出函数的图象，如图所示：
令，则，
又因为，，，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）求；
（2）集合，若“”是“”是的充分条件，求实数a的取值范围．
解：（1），且为R上的增函数，
，
又，，
.
（2）∵“”是“”是的充分条件，，
又，
，．
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）若，满足，求.
解：（1）最小正周期，
令的单调增区间是，
且由得，
单调递增区间.
（2）
又，
，
.
17. 定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足．
（1）求的解析式；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围．
解：（1）是R上的奇函数，，∴，
又，∴，，
此时，满足是定义在R上的奇函数.
（2），，
∴当时，，
由对勾函数性质可得，在上单调递减，
故，∴，
又是奇函数，，
，，
或.
18. 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用．已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入—总支出）．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）；
（3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）；
②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
解：（1）.
（2）令，得，
，故，
故从第3年该设备开始盈利.
（3）按照方案①计算，
当且仅当时，即时等号成立．
到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元
按照方案②计算，当时，．
故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元．
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．
19. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求的解析式；
（2）设函数，
①若，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
②对包含实数0的区间D，若，以为长度的三条线段都能构成三角形．将区间记为I，定义，设，求的最大值．
解：（1）是定义在上的奇函数，
，且，
当时，
，
综上，的解析式为：.
（2）①，
令，，
在上单调递增，
∴当时，，
∴不等式恒成立，转化为：，
i当时，恒成立，
ii当时，恒成立，
iii当时，，则，
由i，ii，iii知：
不等式恒成立的m的取值范围是.
②不妨设
依题意中的“，都存在以为三角形的三条边长”，
等价于，
等价于所包含的任意子区间．
由（2）知，，令，
则．
又，当时，有，
∴所有符合条件的区间D上，满足，
即为：，等价于，等价于，
综上，，有.