2024晋中高一上学期期末考试数学含解析

这是一份2024晋中高一上学期期末考试数学含解析，共20页。试卷主要包含了 已知，，则“”是“”的， 已知，，，则， 已知，，则， 已知函数等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“∃x＞0，x2＞2x否定是（ ）
A. ∃x0，x2＞2xB. ∀x0，x22x
C. ∀x＞0，x22xD. ∃x＞0，x2＜2x
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
3 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数是偶函数且在上单调递减是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点，分别以，为起点同时出发，沿单位圆（为坐标原点）逆时针做匀速圆周运动，若点的角速度为，点的角速度为，则，第二次重合时的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
11. 设分别是方程与的实数解，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知，，均为不等于零的实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，的最大值为1
C. 当时，的最大值为1D. 当时，的最大值为1
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知函数若，则______.
14. 已知扇形的周长为10，面积为6，则这个扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.
15. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动.该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要5年时间使森林面积变为原来的2倍，为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林______年.（结果精确到整数，参考数据：）
16. 已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知不等式的解集为.
（1）求不等式的解集；
（2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18. 已知，，且，.
（1）求，；
（2）求.
19. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）求关于的不等式的解集.
20. 某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系式（其中为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量.
（1）求每天的利润（万元）与的函数关系式；
（2）分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.
21. 已知函数，，满足，.
（1）求的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
22. 已知函数定义域为，且，，都有成立.
（1）求，的值，并判断的奇偶性.
（2）已知函数，当时，.
（i）判断在上的单调性；
（ii）若均有，求满足条件的最小的正整数.2024年1月高一年级期末调研测试【山西省通用】
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“∃x＞0，x2＞2x的否定是（ ）
A ∃x0，x2＞2xB. ∀x0，x22x
C. ∀x＞0，x22xD. ∃x＞0，x2＜2x
【答案】C
【解析】
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，由此求解出结果.
【详解】变为，的否定为，
所以原命题的否定为“，”，
故选：C.
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，根据定义依次判断即可.
【详解】因为，所以，
对于A选项，因为，故A选项错误；
对于B选项，因为，故B选项错误；
对于C选项，因为，故C选项正确；
对于D选项，，故D选项错误.
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用齐次化运算求解.
【详解】.
故选：A
4. 下列函数是偶函数且在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数，指数函数，幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】对于A， ，为奇函数，选项A错误；
对于B， ，奇函数，选项B错误；
对于C， ，即函数不单调，选项C错误；
对于B， ，，故为偶函数，
又函数在上单调递减，选项D正确.
故选：D
5. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解
【详解】，，，
，，即成立
反之,，若，则不成立
所以“”是“”成立的必要不充分条件，
故选:C
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数单调性可判断的大小，根据对数函数单调性可判断的正负，由此可判断的大小关系.
【详解】由指数函数单调性可知：，
由对数函数单调性可知：，
由上可知：，
故选：C.
7. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据定义域排除C、D选项，再由趋于正无穷时的符号，结合排除法即可得到答案.
【详解】对于B，，当趋于正无穷时，是一个负数，即为负数，排除B选项；
因为和的定义域都为不满足所给图象，排除C、D选项；
故选： A
8. 已知点，分别以，为起点同时出发，沿单位圆（为坐标原点）逆时针做匀速圆周运动，若点的角速度为，点的角速度为，则，第二次重合时的坐标为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设运动时间为，明确，点的坐标随时间变化，问题转化为追及问题求解.
【详解】设运动时间为，则点坐标为，点坐标为，
则，第二次重合时，，
此时点坐标为：即.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】采用取特殊值法判断AD；利用不等式的性质判断BC.
【详解】对于A：取，此时，即，故A错误；
对于B：因为，所以，又因为，所以成立，故B正确；
对于C：因为，所以，又因为，所以，所以，
又因为，且，，所以，故C正确；
对于D：取，此时，显然不成立，故D错误；
故选：BC.
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象先求解出的值，然后根据图象过求解出的值，由此可求的解析式，然后逐项检验即可.
【详解】由图象可知：，，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，故A正确；
因为，故B正确；
因为，所以不是对称中心，故C错误；
当时，令，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
11. 设分别是方程与的实数解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用反函数性质结合图像求解即可.
【详解】方程与分别变形为：
因为和互为反函数，且关于对称，
所以，故CD正确，
画出和，的图像，易知A正确；
又因为，结合图像，易知，故B错误.
故选：ACD
12. 已知，，均为不等于零的实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，的最大值为1
C. 当时，的最大值为1D. 当时，的最大值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特值排除选项A，利用基本不等式判断B，利用特值排除选项C，利用基本不等式判断D.
【详解】对于选项A，当，因为，可得，但是此时，故选项A错误；
对于选项B，因为，，，
所以，故，所以，且，所以的最大值为1，故选项B正确；
对于选项C，当时，因为，所以可求，
所以的最大值不为1，故选项C错误；
对于选项D，因为，，所以，
所以，因为，所以时取等号，
所以，且，所以的最大值为1，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知函数若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用，代入解析式可求答案.
【详解】因为所以，
解得.
故答案为：2
14. 已知扇形的周长为10，面积为6，则这个扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.
【答案】或
【解析】
【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据题意列方程组求出、的值，即可求出扇形的圆心角．
【详解】如图所示，
设扇形的半径为，弧长为，由题意可得，
解得，或，
当，时，扇形的圆心角为；
当，时，扇形的圆心角为；所以该扇形的圆心角为或．
故答案为:或
15. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的生态环保理念，某地计划改善生态环境，大力开展植树造林活动.该地计划每年都植树造林，若森林面积的年增长率相同，则需要5年时间使森林面积变为原来的2倍，为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林______年.（结果精确到整数，参考数据：）
【答案】12
【解析】
【分析】先求出年增长率，再列出不等式求出x即可.
【详解】设森林面积为m，森林面积的年增长率为，
则5年时间森林面积变为，则，
若需要植树造林x年，使得森林面积变为原来的5倍以上，则有，
即，则有，
所以为使森林面积变为原来的5倍以上，至少需要植树造林12年.
故答案为：12
16. 已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】当时，，令得，符合题意；
当时，是二次函数，对于方程，
只需，即，解得，且，
当时，，此时，得或，符合题意，
当时，，此时，得或，符合题意，
综上，实数取值范围为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布. 讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知不等式的解集为.
（1）求不等式的解集；
（2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）先根据不等式的解集求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解；
（2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，列不等式组求解即可.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以方程的解为，
所以，，得，，
则不等式即，
解得，故解集；
【小问2详解】
由（1）知，，而是的充分不必要条件，
则是的真子集，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
18. 已知，，且，.
（1）求，；
（2）求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解出的值，然后判断出的范围，再根据平方和关系求解出的值；
（2）根据条件先判断出的范围，然后根据平方和关系求解出，利用角的配凑可得，结合两角和的正弦公式求解出的值，再根据的范围可求结果.
【小问1详解】
由题意知，，
因为，所以，所以，
所以.
【小问2详解】
由，，可得，，
所以，
，
因为，所以.
19. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，，可得，结合奇函数定义域关于原点对称，确定；
（2）利用和不同范围时对数函数的性质解不等式.
【小问1详解】
因为是奇函数，
所以对定义域内的任意恒成立，
则对任意定义域内的任意恒成立，所以，，
当时，定义域为，不关于原点对称，舍去，
当时，，符合条件.
所以.
【小问2详解】
，的定义域为.
当时，，解得，
当时，，解得.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20. 某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系式（其中为小于6的正常数）.对以往的销售和利润情况进行分析，知道每生产1万件合格品可以盈利4万元，但每生产1万件次品将亏损2万元，该工厂需要作决策定出合适的日产量.
（1）求每天的利润（万元）与的函数关系式；
（2）分别在和的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.
【答案】20. ；
21. 答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出（万元）与的函数关系式即可；
（2）利用函数的单调和基本不等式可求最值.
【小问1详解】
由题意得:
当时，，
当时，，
综上，.
【小问2详解】
令，则，
若，当时，每天的利润为0，
当时，，在上单调递减，
故最大值在即时取到，为；
若，当，每天的利润为0，
当时，，，当且仅当时等号成立，
故最大值在，即时取到，为，
综上，若，则当日产量为2万件时，可获得最大利润；
若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润.
21. 已知函数，，满足，.
（1）求的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，根据题意结合正弦函数最值分析求解；
（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【小问1详解】
，
由题意可知：在处取到最大值，
则，解得，
又因为，故只有时成立，得，
所以；
【小问2详解】
将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，得到的图象，
再将得到的图象向左平移个单位长度，
得的图象.
令，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，
当时，，当时，，
故在上的值域为.
22. 已知函数的定义域为，且，，都有成立.
（1）求，的值，并判断的奇偶性.
（2）已知函数，当时，.
（i）判断在上的单调性；
（ii）若均有，求满足条件的最小的正整数.
【答案】（1），，是奇函数
（2）（i）单调递减；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可；
（2）（i）根据函数的单调性的定义证明即可；(ii)根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可．
【小问1详解】
令，得，解得，
令，得，故.
令，得，即，
又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数.
【小问2详解】
（i）由，可得，
即.
，且，
有，
因，所以，
从而，得，
因此在上单调递减.
（ii）因为，，所以是偶函数.
，而在上单调递减，
则有或，由题可知，只需考虑成立，
从而有.
因为，所以，则的最大值在处取到，
故只需.
综上，满足条件的最小的正整数.
【点睛】本题难点在证明单调性时，构造，结合已知进行证明，属于难题.