天津市西青区张家窝中学2025_2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题 [含答案]

这是一份天津市西青区张家窝中学2025_2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题 [含答案]，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
4．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A．B．C．D．
5．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
6．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ）
A．与方向相同的单位向量的坐标是
B．在上的投影向量的坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．A､B两点间距离为
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．23C．24D．28
9．已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A．B．C．－2D．2
10．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
11．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
12．圆上到直线的距离为的点共有
A．个B．个C．个D．个
13．设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ）
A．B．C．D．
14．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）

A．4B．3C．2D．1
二、填空题
15．已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为 ．
16．等差数列中，若，则的值为 ．
17．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则 .
18．，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
19．已知数列满足，，则 ．
20．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 .
21．数列的前项和，则的通项公式 .
22．直线，则直线l恒过定点 ，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是 ．
三、解答题
23．已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.
24．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点．
(1)求证：平面
(2)求直线和平面所成的角的正弦值．
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
25．设等差数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值；
（3）设数列的前项和为，求．
26．已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选D
2．【正确答案】C
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选C．
3．【正确答案】D
【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.
故选D．
4．【正确答案】D
【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选D
5．【正确答案】C
【详解】圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径，
,所以圆心距，所以两圆相外切.
故选C
6．【正确答案】C
【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性；
当时，，，当时，，，
当时，显然，∴，即，∴，∴或，
当时，，，两直线重合，舍去.
∴，满足必要性.
∴“”是“”的充要条件.
故选C.
7．【正确答案】C
【详解】，
由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确.
在上的投影向量的坐标是，故B正确；
，故C错误；
两点间的距离即，故D正确.
故选C
8．【正确答案】D
【详解】因为是等差数列，
所以，又，所以公差为，
，
故选D.
9．【正确答案】B
【详解】利用向量运算得到得到答案.
【详解】故
故选
10．【正确答案】B
【详解】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意，，所以，，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故选B.
11．【正确答案】A
【详解】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得选项.
【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为,两焦点的连线的方程为，
又双曲线的渐近线方程为，所以 ，解得，
故选A.
12．【正确答案】C
【详解】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆可变为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
圆上到直线的距离为的点共有个.
故选C.
13．【正确答案】A
【详解】由于为等腰三角形，
所以，.
故选A
14．【正确答案】B
【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.
【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，
故选：B.
15．【正确答案】
【详解】当焦点在轴上时，，解得，
所以长轴长为；
当焦点在轴上时，，解得（舍去），
综上所述，椭圆的长轴长为.
故答案为.
16．【正确答案】20
【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即，
则 .
17．【正确答案】
【详解】因为点为抛物线上一点，所以，解得.
所以焦点.
所以.
18．【正确答案】2
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得.
19．【正确答案】/
【详解】由题意：，，，，，
所以满足.
所以
20．【正确答案】 /
【详解】由椭圆方程可得，，则，
，，
在中，，
即，解得，
，
设内切圆半径为，的周长为，
所以，解得.
21．【正确答案】
【详解】由题意数列的前项和，则，
当时，，
不适合上式，
故的通项公式.
22．【正确答案】(2，4)
【详解】解：直线恒过点．
由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，如图：

因为直线与曲线只有一个交点，
由圆心到直线的距离等于半径得，解得，
由图，当直线经过点时，直线的斜率为，
当直线经过点时，直线的斜率不存在，
综上，实数的取值范围是，或.
23．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）因为，
所以线段的中点坐标为，直线的斜率，
因此线段的垂直平分线方程是.
联立，解得，
所以圆心的坐标.
圆的半径长
所以圆心为的圆的标准方程是；
（2）因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆到直线的距离.
①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设，
即.
所以，解得或.
直线的方程为或
24．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角
（1）
以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
依题意，得，
，设面的法向量，
，所以，取，得
因为，
所以．所以．
又面．
所以面．
（2）
，
设面的法向量，
，所以，
取，得．
因为，
所以．
所以直线和平面所成的角的正弦值为．
（3）
由（1）､（2）可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
25．【正确答案】（1）；
（2）36；
（3）；
【详解】（1）因为，
所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以，
所以当时，取最大值，为36；
（3）令，
解得，
又因为，
所以，
即数列的前6项为正，从第7项起为负，
所以当时，，
所以，
当时，，
所以
，
综上，；
26．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，再将点代入得，
解得，故椭圆的方程为；
（2）由题意可设，
由可得，
易知恒成立，所以，
又因为，
所以直线的方程为，令，则，故，
同理，
从而，
故为定值．