上海市闵行交大实验学校、交大附中嘉定分校、松江三校2025_2026学年高一上学期12月学情调研数学试题 [含答案]

这是一份上海市闵行交大实验学校、交大附中嘉定分校、松江三校2025_2026学年高一上学期12月学情调研数学试题 [含答案]，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数，其中，则 .
2．函数图象经过定点的坐标是 .
3．全集是实数集，则集合，则 .
4．已知，，化简： .
5．已知，用表示 .
6．已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为 .
7．已知集合对任意恒成立，，则 .
8．记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为 .
9．若，且，则 .
10．当且仅当时，函数有意义，则实数a的取值集合是 .
11．已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是 .
12．已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是 .
二、单选题
13．已知，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
14．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：It=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当It∗=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为( )(ln19≈3)
A．60
B．63
C．66
D．69
15．已知，，满足且，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
16．设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（ ）
A．中仅是的充分条件
B．中仅是的充分条件
C．都不是的充分条件
D．都是的充分条件
三、解答题
17．已知，集合.
（1）当时，求和；
（2）已知，求实数的取值范围.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）若，求函数的值域.
19．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素.
（1）若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？
（2）若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围.
20．已知幂函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数定义域内的满足，求证：；
（3）设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围.
21．若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”.
（1）判断并证明优美函数的奇偶性；
（2）若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性；
（3）若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】0
【详解】由解析式知.
2．【正确答案】
【详解】令则,故图象经过定点的坐标是.
3．【正确答案】
【详解】易知，则.
4．【正确答案】
【详解】，
.
5．【正确答案】
【详解】由，则.
6．【正确答案】
【详解】因为是定义在上的严格增函数，且，
可得，解得，
所以不等式的解集为为.
7．【正确答案】
【详解】根据三角不等式，当且仅当时等号成立，所以，即，
解不等式得或，即，
所以.
8．【正确答案】
【详解】由是二次函数，对称轴为，
再由偶函数的性质可得，，
而该函数图象与轴交点的纵坐标为，
根据，因此，即，
取等号条件分别为或，
所以该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为.
9．【正确答案】5
【详解】函数的定义域为，
由题意得，，
则，
因为，故，
因为，则.
10．【正确答案】
【详解】由题意可知，的解集为，
当时，有，则，，不符合题意；
当时，在上单调递减，则，得.
则实数a的取值集合是.
11．【正确答案】
【详解】设，则在严格递增，又，
所以，即，故.
，
故：，
由题意是的充分条件，则，
所以有，故实数，故实数m的最小值为,
则正实数的取值范围是
12．【正确答案】
【详解】函数大致图象如下，
若，且，则
所以
∵，当且仅当，即时取等号，
当时，，当时，，
由双勾函数的单调性可知，
即，
∴.
13．【正确答案】C
【详解】且，因为，
对于，所以；对于，所以；
则，
故选C.
14．【正确答案】C
∵It=K1+e−0.23(t−53)，∴It∗=K1+e−0.23(t∗−53)，∴e0.23(t∗−53)=19，
∴0.23t∗−53=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.
故选C.
15．【正确答案】A
【详解】由
又，，故A正确．
，，
，故B错误．
若，可验证C不正确，
而，，
，故D错误．
故选A．
16．【正确答案】D
【详解】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.
，
即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，
即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，
①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时，即是q的充分条件；
②当时，a≥0，，，
(i)当a≥1时，a≥，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；
此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴成立；
(ii)当a＝0时，b＝0，f（0）＋f（0）＝6≥0成立，即成立；
(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，
∴在(－∞，0)单调递增，
∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；
又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，
故当0＜a＜1时，a＜＜1，，
∴f(a)＞0，f(b)＞0，
∴成立.
综上所述，时，均有成立，∴是q的充分条件.
故选D.
17．【正确答案】（1）或，
（2）
【详解】（1）由，得，解得或，
则或；
由；
当时，，解得.
（2）由，得，由，
①当时，得，符合题意；
②当时，若，则，
由，或,
可得，此时；
若，则，此时恒成立，故符合题意；
综上所述，实数的取值范围为.
18．【正确答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
，
当时，，，
；
（2）当时，，，
，
令， ，，
，
函数图象开口向上，对称轴为，
，
函数的值域为.
19．【正确答案】（1）57600元
（2）
【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为，
则甲工程队整体报价为，
，当且仅当时，“=”成立，
因此至少要付给甲工程队57600元；
（2）若乙队要确保竞标成功则，
所以，
则，
因为，所以函数，
函数在上单调递增，故，
故，则，所以实数的取值范围是.
20．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【详解】（1）因为为幂函数，
所以，解得或，
因为，所以，
故.
（2），
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
又，所以.
（3）因为在上单调递减，
所以，
两式相减得：，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，则，所以，
将代入，
得，，
令，，则，，所以，
所以实数的取值范围是.
21．【正确答案】（1）奇函数，见详解；
（2）见详解，在上是严格递增函数；
（3）.
【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，
令，得，解得或，
又不存在，使得，∴，
令，得，
∴，
∴为奇函数.
（2）任取，设，
解法一：，
因为，，又，，
所以，，
所以，即，
所以在上是严格递增函数.
解法二：由（1）函数为奇函数，则
任取，且，则，故且.
所以，；
所以，函数在上严格递增.
（3），
则，
，
又不等式对恒成立，
则对恒成立，
又在上严格递增，
∴对恒成立，即对恒成立，
当时，对恒成立，
当时，对恒成立，则，解得，
综上，.