上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2023−2024学年高一下学期6月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2023−2024学年高一下学期6月期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．若复数是纯虚数，则实数 ．
2．已知向量，，若，则实数 .
3．函数的最小正周期是 ．
4．若角的终边过点，则的值为 .
5．在等差数列中，则 .
6．设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则 ．
7．方程在区间上的所有解的和为 .
8．关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ．
9．已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ．
10．设无穷数列的前项和为．若，则 ．
11．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 .
12．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为 .
二、单选题（本大题共4小题）
13．已知等差数列中，，那么（ ）
A．B．C．D．
14．已知函数，，则下列判断不正确的是（ ）
A．
B．在区间上只有个零点
C．的最小正周期为
D．直线为函数图象的一条对称轴
15．设O是△ABC的外心，若，则（ ）
A．2B．C．D．
16．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）
A．B．3C．D．1
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知复数是纯虚数，是实数.
(1)求；
(2)若，求.
18．已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
(1)求的解析式和周期．
(2)当 时，求的值域．
19．某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%
（1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式;
（2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?
20．在直角坐标平面上的一列点，，…，，…，简记为．若由构成的数列满足，，2，…，其，则称为“点列”．
（1）判断，，，…，，是否为“点列”，并说明理由；
（2）判断，，，…，…是否为“点列”，请说明理由，并求出此时列的前项和．
（3）若为“点列”，且点在的右上方，任取其中连续三点，，，判断的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明．
21．定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为
(1)设，求证：
(2)已知且，是函数的“对应向量”，，求
(3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围
参考答案
1．【答案】
【分析】利用纯虚数的定义，列式计算作答.
【详解】复数是纯虚数，则有，解得，
所以实数.
故答案为：-1.
2．【答案】
【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出．
【详解】因为，，，
所以，解得．
故答案为：.
3．【答案】
【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期.
【详解】，所以函数的最小正周期.
故答案为：
4．【答案】
【分析】由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公式化简，代入即可求解．
【详解】因为角α的终边过点P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5，，
．
【思路导引】本题主要考查任意角的三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行转化求解即可．
5．【答案】
【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得.
【详解】等差数列中，，
因为,
所以.
故答案为：.
6．【答案】3
【分析】根据数量投影的概念及数量积的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以在方向上的数量投影为，解得，
故答案为：3．
7．【答案】
【分析】利用倍角余弦公式得到关于的一元二次方程求解，由正弦函数值求，即可得结果.
【详解】由，即，解得或，
在，当时，当时或，
所以所有解的和为.
故答案为：
8．【答案】
【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】由题意可得，，
，，
解得或，
又，，．
故答案为：．
9．【答案】
【分析】由的范围, 可得的范围, 由题意可得的范围, 进而求出的范围.
【详解】因为, 所以,
要使函数有5个零点, 则,
解得的范围为.
故答案为: .
10．【答案】
【分析】利用与间的关系，求出，从而得到，再利用等比数列前项和公式即可求出结果.
【详解】因为，当时，，
两式相减得到，又，满足，所以，
所以，
故答案为：.
11．【答案】
【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案.
【详解】
设中，定点到底边的距离为h，
已知，，，，
则
又，
则，
即，
在中，由余弦定理：
，
当且仅当时，等号成立，
故，而，
所以，则，
所以的最小值为.
故答案为：.
12．【答案】
【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当时，或，根据，可推出数列前6项，结合题意，应有，，，…，，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值.
【详解】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以，
又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，
当时，，此时，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，
所以，类似地，必有，，，，
由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，
则，，
同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件.
由对称性得最后6项为，，
则的最小值.
【方法总结】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当时，或，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.
13．【答案】B
【分析】根据等差数列的性质可得，，再结合诱导公式即可得解.
【详解】∵等差数列中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选B.
【思路导引】本题考查等差数列的性质，考查诱导公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力.
14．【答案】B
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式变形函数式，再根据正弦函数的图象及性质逐一判断各选项作答.
【详解】由题意，，
对于A，因为，则，即，A正确；
对于B，由得，即，满足的有，B错误；
对于C，的最小正周期为，C正确；
对于D，当时，，则，因此是图象的一条对称轴，D正确.
故选B.
15．【答案】C
【分析】取BC的中点D，连接OD，AD，设，根据向量的数量积运算可求得，代入可得答案.
【详解】取BC的中点D，连接OD，AD，因为O是△ABC的外心，所以，
设，则
所以，所以，
故选C.
16．【答案】B
【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.
【详解】根据题意，得，
当，，时，，此时，
所以.
故选B.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解；
（2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算．
【详解】（1）设且.
则为实数，
所以，所以，
所以 ；
（2）由（1），，
所以．
18．【答案】(1)，周期为
(2)
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解；
（2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，
可得最小正周期，所以.
又由图象上一个最低点为，可得，
且，即，可得，
即，因为，所以，
所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为.
（2）解：由（1）知，
当时，可得，
所以，当时，即时，函数取得最小值为；
当时，即，函数取得最大值为，
所以函数的值域为.
19．【答案】（1）；（2）9
【详解】（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，，
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又
的表达式为，
设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，由，
该生产线前年每年平均的维护费用
当时，为递增数列，
当时，，也为递增数列，
又，
则第9年初需要更新该生产线.
20．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；；（3）钝角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据“点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果；
（2）根据题中条件，得出，结合“点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和；
（3）先由题意，得到与的坐标，表示出向量数量积，利用“点列”的性质，判断，即可判断三角形的形状.
【详解】（1）根据题意得，，
∴不满足，故不是“点列”．
（2）根据题意得，，
∴，显然有，
∴是点列．
则．
（3）因为为“点列”，所以，，
所以，，
则，
∵点在点的右上方，∴，
∵为点列，∴，
∴，则，
即，
又为的内角，
∴为钝角，∴为钝角三角形．
【方法总结】求解本题的关键在于对“点列”的理解，要判断一个点列为“点列”，必须满足为增数列；求解“点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“点列”的性质，结合向量数量积求解即可.
21．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证；
（2）化简函数，得到，进而求得的值；
（3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
根据题意，可得函数对应的向量为，
又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以；
（2）由函数
，
因为，所以，
又因为，所以，
可得.
（3）由函数，其中，
因为在处取得最大值，所以，
即，此时，
令，可得，
即，其中，
可得，解得，所以，
当时，；
当时，单调递减，；
当时，单调递减，.
综合可得的取值范围为.
【思路导引】解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解.