山东省东明县第一中学等校2025_2026学年高三上学期12月联考数学试题 [含答案]

这是一份山东省东明县第一中学等校2025_2026学年高三上学期12月联考数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
4．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．3
6．在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
7．已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，若，则实数m的值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上的值域为
11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．若函数有4个零点，则
D．若，则
三、填空题
12．已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为 .
13．设等差数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
14．已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为 .
四、解答题
15．已知幂函数，且在上单调递增．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
16．已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求.
17．在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
18．如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点.

（1）当平面时，说明点的位置并证明；
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知函数，为的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：；
（3）若，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，故复数的虚部为.
故选A.
2．【正确答案】C
【详解】由，得，又因为，所以，
又，所以.
故选C.
3．【正确答案】B
【详解】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选B
4．【正确答案】B
【详解】，，，
故.
故选B
5．【正确答案】D
【详解】，
∴.
故选D
6．【正确答案】C
【详解】由条件可知，即，
因为，
所以，
整理为，
所以，
所以是等腰三角形.
故选C
7．【正确答案】D
【详解】易知，
因函数有极值点，则在上存在变号零点，
若对称轴，即，则在上单调递增，
则，不符合题意；
若对称轴，即，则，即，得，
则实数的取值范围为.
故选D.
8．【正确答案】B
【详解】当，则，即，
当，，
则，即，∴，
∴数列是的等比数列，
∴，
∵，即，
∴，
令数列的通项为，
则，
令，则，
又∵
∴当，，当，，
∴数列的最大项为，
∴.
故选B.
9．【正确答案】ABC
【详解】因为，所以，
解得或0或．
故选ABC.
10．【正确答案】ABD
【详解】因为，
对于选项A：因为函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：因为为最大值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于选项C：因为不为0，
所以函数的图象不关于点对称，故C错误；
对于选项D：因为，则，
可得，即，
所以函数在区间上的值域为，故D正确；
故选ABD.
11．【正确答案】AC
【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，且当趋近于0或时，趋近于，
可得函数的图象，如图所示：
对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；
对于选项B：因为，且在内单调递增，
所以，故B错误；
对于选项C：令，可得，
可知函数有4个零点，即与有4个交点，
且的定义域为，且，
可知为偶函数，且当时，
原题意等价于当时，与有2个交点，
由题意可知：，故C正确；
对于选项D：设，
则，
可知在内单调递增，则，
即，
若，不妨设，
则，
且，且在内单调递增，
则，所以，故D错误.
故选AC.
【方法总结】利用导数证明不等式的基本步骤：
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
12．【正确答案】或
【分析】分类讨论截距为和不为即可.
【详解】若直线经过原点，则方程为；
若直线不经过原点，设方程为，
故，得，所以方程为.
故或.
13．【正确答案】
【详解】设等差数列的公差为，由题意得，又，解得
，所以.
故，，，
当且仅当时取等号，即时取得最小值.
14．【正确答案】
【详解】设正三棱锥的底面边长，到平面的距离为，
所以，，
所以，，，
所以
，
不妨设，，所以，所以，
设，，
所以，
所以内切球半径的最大值为.
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）由幂函数的定义得，解得或，
①当时，，此时函数在区间上单调递减，不合题意，舍去，
②当时，，此时函数在区间上单调递增，符合题意，
由上知；
（2）由（1）知，此时函数的增区间为，减区间为，
且函数为偶函数，图象关于轴对称，
又由，若，则，
所以或，
解得或，
故实数的取值范围为．
16．【正确答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
则，即，
又在中，由，故.
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，得.
又由，有，则，可得，
由余弦定理得，则，可得.
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵是和的等差中项，∴，
∵，∴，解得，故.
设等比数列的公比为，则，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴
.
18．【正确答案】（1）点是线段的中点，见详解
（2）
【详解】（1）点D是线段的中点.
证明：连接，且，再连接，
平面，平面，且平面平面，
，又由为线段的中点，得是的中位线，
为线段的中点；

（2）由题意，可设，并以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，
设是平面的一个法向量，则
取为平面的一个法向量，且，
设直线与平面所成角为，与所成角为，
则.

19．【正确答案】（1）在单调递减；
（2）见详解
（3）
【详解】（1）由题，，
令，
则对，，
所以在单调递减，即在单调递减.
（2）令，
则对，，
所以在单调递减，
所以，即，
因为，所以，
即得证.
（3）令，则，
若，则.
因为，由（1）在单调递减，
可知在单调递减，所以，
若，因为，时，，
所以，.
所以当时，，单调递增，
所以，矛盾；
若，则由在单调递减，可得，
所以在单调递减，，满足条件.
综上，的取值范围是.