山东省东明县第一中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题

高二数学检测题

2023.9

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则集合为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3.  已知，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数的单调增区间是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数，下列说法正确的是(    )

A. 函数的最小正周期是 B. 函数的最大值为
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增

6.  在正方形中，已知，点在射线上运动，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  阿基米德公元前年公元前年是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为(    )

A.  B.  C. 或 D.

8.  已知集合，，，则函数有零点的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是(    )

A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限

10.  某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取名居民的成绩单位：分，按照分成组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    )
 

A. 所抽取的名居民成绩的平均数约为
B. 所抽取的名居民成绩的中位数约为
C. 名居民成绩的众数约为，
D. 参加培训的居民中约有人的成绩不低于分

11.  如图，在棱长都相等的三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，则下列叙述错误的是(    )
 

A. 与是异面直线 B. 是等边三角形
C. 平面 D.

12.  已知函数对，都有，且，则下列结论正确的是(    )

A. 为偶函数 B. 若，则
C.  D. 若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  当且时，函数的图象一定经过定点          ．

14.  若“，”为假命题，则的最小值为          ．

15.  将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的最大值为          ．

16.  矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为          ；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知函数，不等式的解集为．

求实数，的值；

若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围

18.  本小题分
设函数，，且，．
求的值及的定义城；
判断的奇偶性，并给出证明；
求函数在上的值域．

 

19.  本小题分
已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．





20.  本小题分
在四棱锥中，平面，底面是边长是的正方形，侧棱与底面成的角，，分别是，的中点．
求证：平面；
求四棱锥的体积．
二面角平面角的正切值．

21.  本小题分
    设、、三个事件两两相互独立，事件发生的概率是，、、同时发生的概率是，、、都不发生的概率是．
    试分别求出事件和事件发生的概率；
    试求、、只有一个发生的概率．
    
    
    22.  本小题分
    在中，角，，的对边分别为，，，已知
    求角的大小
    若，点满足，求的面积
    若，且外接圆半径为，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．

高二数学检测题

答案和解析

【答案】

1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.  
8.   

9.   10.   11.   12.   

13.  

14.  

15.  

16.     

17. 解：由题意可得，是方程的两根，
则，，
解得，；
由可得，
关于的不等式对恒成立，
即为恒成立，
由，即，
解得，
即的取值范围是． 

18. 解：由可得，
故函数的定义域，
因为，
由题意，故
因为，
又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，
由可知，，
，所以，
所以函数的值域为． 

19. 解：Ⅰ，，
．
Ⅱ由，可得．
Ⅲ，，
． 

20. 解：证明：设的中点为，连，，

根据三角形的中位线可知，且，
，且，
，且，
，
又平面，平面，
平面；
四棱锥的底面积为，
因为平面，侧棱与底面成的角，
所以四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为：；
连接，，相交于点，连接，

则二面角为，记为，
，
，
．
故二面角平面角的正切值为． 

21. 解：设事件发生的概率为，事件发生的概率为．
则
解得或
故事件、发生的概率分别为，或，．
由知，当，时，
A、、只有一个发生的概率
．
当，时，同理可知，、、只有一个发生的概率．
故A、、只有一个发生的概率为． 

22. 解：法一：因为
所以根据正弦定理得：
所以C.
所以C.
所以C.
根据正弦定理，得即
根据余弦定理，得
因为，所以
 法二：因为
所以根据正弦定理，得
根据余弦定理，得
即
根据余弦定理，得
因为，所以
由余弦定理，得B.
所以，即
所以，因为，所以．
因为
所以．
所以的面积为；
由，利用余弦定理得到是等边三角形，所以，
，，
，
，
，，，
，，，，
的取值范围为：