山东省潍坊市诸城第一中学2025_2026学年高三上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份山东省潍坊市诸城第一中学2025_2026学年高三上学期12月月考数学试题 [含答案]，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则集合的子集个数为（ ）．
A．1B．2C．4D．8
2．复数，则（ ）
A．B．2C．4D．8
3．设，则（ ）．
A．B．C．D．
4．在的展开式中，含项的系数为（ ）．
A．10B．15C．20D．30
5．已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（ ）．
A．B．C．D．
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）．
A．2B．1
C．D．
8．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
二、多选题
9．关于函数有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．的图象关于y轴对称B．的图象关于原点对称
C．的值域是D．的图象关于点对称
10．在棱长为2的正方体中，点为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）．
A．三棱锥的体积为定值
B．在点运动过程中，存在某个位置使得平面
C．截面三角形面积的最大值为
D．当三棱锥为正三棱锥时，其内切球半径为
11．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则下列选项正确的是（ ）．
A．为非奇非偶函数
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知，，则 .
13．有形状完全相同的4个白球和4个红球，若一个袋中放有3个白球和2个红球，另一个袋中放有1个白球和2个红球，任选一个袋子取出一球，则恰好取出的是白球的概率为 ．
14．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．在锐角中，角的对边分别为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
16．已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）证明：函数在上有且仅有一个零点．
17．已知数列满足，且，数列满足，设的前项和为．
（1）求数列的通项公式；求数列的前项和；
（2）设，记数列的前项和为对恒成立，求的取值范围．
18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，为等腰直角三角形，且分别为和的中点，为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成线面角的正弦值为．
19．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；
（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为.若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为，求的分布列与期望.
附：
答案
1．【正确答案】D
【详解】，解得：，所以，
其中，所以，
所以．
所以的子集个数是.
故选D．
2．【正确答案】A
【详解】，
，
所以
，
所以.
故选A
3．【正确答案】C
【详解】解：，
故选C．
4．【正确答案】B
【详解】根据组合可知，展开式中含项为：，
所以含项的系数为15，
故选B．
5．【正确答案】B
【详解】因为平面，且平面平面ABC，，，
所以，，
，，
，，
所以.
故选B．
6．【正确答案】C
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选C．
7．【正确答案】C
【详解】设，，
因为，所以，，
所以点G是的重心，
设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，
又．
因为B、H、D三点共线，所以，
所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】由题意，令，则，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即的最小值为.
故选D．
9．【正确答案】BCD
【详解】对于AB，函数的定义域为，
，都有，且，
则函数为奇函数，的图象关于原点对称，A错误，B正确；
对于C，，即是的周期，
由，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为；在上单调递减，
函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为，因此的值域是，C正确；
对于D，由，得，此时，
即，，
因此的图象关于点对称，D正确.
故选BCD
10．【正确答案】AC
【分析】对于A，证明平面，从而可得上所有点到平面的距离不变，即可判断；
对于B，假设平面BQC，从而可得，，即可判断；
对于C，要使截面三角形面积的最大，只要Q到BC的距离最大，过Q作于F，过F作于G，连接QG，求出的最大值即可；
对于D，利用等体积法求解即可.
【详解】解：A.，而为定值．
连接，因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，所以上所有点到平面的距离不变，
所以三棱锥的高不变，所以为定值，故A正确；
B．若平面BQC，平面BQC，
则，又，
所以，不正确，故B错误；
C．因为BC为定值，所以只要Q到BC的距离最长，
过Q作于F，过F作于G，连接QG，
因为，所以，
又平面，所以平面，
又平面，则，
要使QG最长，只需QF最长，即Q点在时，最长，
此时，故C正确，
D．当Q在A点时，为正三棱锥，
设三棱锥的内切球的半径为，
由等体积法，
所以，
所以，故D错误．
故选：AC.
11．【正确答案】BCD
【详解】由已知有为R上的奇函数，所以，
故的定义域为R，且，
故为奇函数，故A选项错误；
由已知有：恒成立，
令时，①，
因为为奇函数，故，
令时，②，
由①②解得：，，故B选项正确；
由已知有：恒成立，
即恒成立，
令，则恒成立，
由A选项知是奇函数，故，
故，即，
所以，
所以是一个周期为4的周期函数，
则，
所以，故C选项正确；
由已知有：在R上可导，
对求导有：，
即，
令时，，则，
因为，所以．
又因为是奇函数，故是偶函数，所以，
因为是一个周期为4的周期函数，所以也是一个周期为4的周期函数，
以下是证明过程：假设为周期为的函数，则
，
所以为周期为的函数，
故，故D选项正确．
故选BCD
12．【正确答案】
【详解】将两边平方，得，
即，
由同号，可得为锐角，
又，得，所以，
故.
所以.
13．【正确答案】
【详解】解：设A表示选择其中有3白球、2红球的袋子，B表示取出白球，
则，
．
14．【正确答案】
【详解】由题意：存在，使得不等式成立，
即成立，即成立，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
所以只需时，有成立，即成立，
令，则，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为e．所以a的取值范围是．
15．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
即，
又，
所以，
因为，所以；
（2），
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
即的取值范围为．
16．【正确答案】（1）；
（2）见详解.
【详解】（1）因为，且，，
所以切线方程为，
即所求切线方程为．
（2）．
因为，所以，，，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以在上是减函数，且，
所以在上仅有一个零点．
17．【正确答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为，
所以，所以（常数），
故数列是以为公差的等差数列，且首项为，
所以，故．
因为，
所以．
（2）．
所以，
所以，
两式相减得，，
所以．
由，
知在上单调递增，
所以，所以，解得.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据证明即可．
（2）根据线面角的正弦等于线法角的余弦绝对值列式计算求解即可．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，且，
．
又∵三棱柱为直三棱柱，
平面ABC．
分别以向量，，的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
为中点，连接，
则，，，，
，，
，
．
（2）解：设，
则，．
，，，BC，平面，
平面，
是平面的一个法向量且．
∵直线DE与平面所成的线面角的正弦值为，
，
化简得：且，
或，
即或．
19．【正确答案】（1）认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于
（2）
（3）分布列见详解，数学期望：
【详解】（1）零假设为：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）用表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，则.
（3）由题知的所有可能取值为，
；
所以的分布列为:
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0
1
2