福建省福清第一中学2026届高三上学期12月适应性练习数学试题 [含答案]

这是一份福建省福清第一中学2026届高三上学期12月适应性练习数学试题 [含答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．5
5．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．25C．或D．或0
6．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥中，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数，，满足：，则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相交
B．若直线与圆相切，则
C．圆上一点到直线的最大距离为
D．若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，P为线段EF上的动点，则（ ）
A．线段DP长度的最小值为2
B．三棱锥D-A1AP的体积为定值
C．平面AEF截正方体所得截面为梯形
D．直线DP与AA1所成角的大小可能为
11．已知函数恰有三个零点，，，且，则（ ）
A．B．实数的取值范围为
C．D．
三、填空题
12．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
13．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为
14．
如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是 .
四、解答题
15．在中，角､､所对的边分别为､､，，.
（1）求函数的最大值及对应的值；
（2）若，，，求的周长.
16．如图，已知直三棱柱的体积为16，侧面是边长为4的正方形，点为棱的中点，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17．记为数列的前项和，已知，．
（1）判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
（2）设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，
（ⅰ）设为的极值点，证明：；
（ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有.
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点，分别在轴，轴上滑动，，点是线段上一点，且，点随线段的滑动而运动.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标；
（3）过点的直线交轨迹于，两点，过点与垂直的直线交轨迹于，两点，其中，在轴上方，，分别为线段，的中点，设为直线与直线的交点（点在线段上），求面积的最小值.
答案
1．【正确答案】C
【详解】,
则
故选C
2．【正确答案】D
【详解】由图可知：为偶函数，且，
对于A，，为奇函数，不符合，舍去，
对于B，，不符合，舍去，
对于C，，为偶函数，且，
与图象不符，故C错误；
对于D，，为偶函数，且，满足图象特点，故D正确.
故选：D
3．【正确答案】C
【详解】，，
平方相加可得，
求得，即．
故选C．
4．【正确答案】C
【详解】由题意，得，
进一步，
故，所以．
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】由可判断，分和讨论，结合等比数列前n项和公式求解运算.
【详解】由，，
当时，，成立，，
当时，由，得，即，
解得或（舍），又，此情况不合题意，
综上，，.
故选：A.
6．【正确答案】D
【详解】如图，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，
则，，从而四边形是平行四边形，则，
且.
因为是的中点，是的中点，
所以为的中位线，所以，则是异面直线与所成的角.由题意可得，.
在中，由余弦定理可得，
则，即.
在中，由余弦定理可得.
故选D
7．【正确答案】C
【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象，
依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为，
则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：；
当直线在②位置时，显然有：；
当直线在③位置时，显然有：，故C错误.
故选C
8．【正确答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选D.
9．【正确答案】AC
【详解】A：当时，直线，圆的方程可化为，
所以圆心，半径，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，故A正确；
B：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故B错误；
C：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离，
则圆上一点到直线的最大距离为，故C正确；
D：因为圆上恰好有三个点到直线的距离为2，
所以圆心到直线的距离，解得或，故D错误.
故选AC.
10．【正确答案】BC
【详解】
对于A：，当点为的中点时，此时DP长度的最小，最小值为，A错；
对于B：平面，点到平面的距离等于到平面的距离，
故三棱锥D-A1AP的体积等于三棱锥P-A1AD的体积也等于三棱锥E-A1AD的体积，
为，B正确；
对于C：如图平面AEF截正方体所得截面为四边形，
因为，且，所以四边形为梯形，C正确；
对于D：过点作于点,连接,则平面，
所以,则直线DP与AA1所成角的大小为或其补角，
令则，
令，
，当时，，
当，而在上单调递增，
所以，即，
故直线DP与AA1所成角的大小不可能为，D错.
故选BC
11．【正确答案】ACD
【详解】函数定义域为R，
，
所以是奇函数，则，
又因为有三个零点且，，
所以，，即，故A选项正确；
，得，
令，则，所以在R上增函数，
要使函数有3个零点，与的图象有3个交点，如图：

又，
当且仅当时取等号，即，
所以，故B错误；
，故C选项正确；
由得，又，
要使成立，则成立，
令，，
所以在单调递增，则，
于是，则，故D正确.
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.
13．【正确答案】4
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
14．【正确答案】
【详解】由于 所以
梯形 的面积为的面积减去的面积，
则可得 即递推公式为
故为等差数列，且公差，
故，得
15．【正确答案】（1）的最大值为，此时
（2）的周长为
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，即时，，
所以的最大值为，此时.
（2）由（1）得，因为，
所以，解得，
又，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以的周长为.
16．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）设与相交于点，连接，如图：
因为是正方形，所以，
又点为棱的中点，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为直三棱柱的体积为16，侧面是边长为4的正方形，
所以，
设边上的高为，则，所以，
因为，所以，
以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
设平面的法向量为，平面的法向量为
则，，
令，则，令，则，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【正确答案】（1）不是等比数列，且
（2）见详解
【详解】（1）因为，且对任意的，，
当时，，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，所以，
又因为，
故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，
当时，，即，
综上所述，.
（2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，，
，，
所以，，，
因为、、成等比数列，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以
，故原不等式得证.
18．【正确答案】（1）
（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）见详解
【详解】（1），，，
∴曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）（ⅰ），显然单调递减，
∵，，
∴存在，使得，即，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴为的极大值点，，
∵函数在区间上单调递增，∴，
∴；
（ⅱ），易知单调递增，
令，即，即，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴的最小值为，
由（ⅰ）可知，的最大值为，且，
由于函数为增函数，∴，
对于任意正实数，，都有
，
∵，∴，，
∴，
∴对于任意正实数，，都有.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）设，，因为，所以，
设，由，且，可得，，
则可得，，
代入得，
所以动点的轨迹的方程为.
（2）
设，则，，
因为与的面积相等，则与的面积相等，则有，
又，，所以，
故直线的方程为，
由，解得，即，，
则点的坐标为.
（3）
设，，.
由，消去得，
可知，则，，
.
由（1）可知
，
用代换可得，
所以，
当且仅当即时，，
所以面积的最小值为.