2025-2026学年江苏省南通市如皋市实验初中九年级（上）10月月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南通市如皋市实验初中九年级（上）10月月考数学试卷-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A. 24°B. 26°C. 48°D. 66°
3.如图，二次函数的图象与 x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）
A. x＜﹣2B. ﹣2＜x＜4C. x＞0D. x＞4
4.如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
6.已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. （为实数）
7.某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A. B. C. D.
8.若三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做这个函数图象的“阶距点”．若关于的二次函数图象的“阶距点”存在，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标是 ．
12.点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是 ．
13.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是 ．
14.⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝ .
15.汽车刹车后行驶的距离(单位：)关于行驶的时间(单位：)的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 ．
16.如图，已知是的直径，M为上的点，且，，弦经过点M．当时， ；的最大值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数的图象与直线交于点．
(1) 求的值；
(2) 取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
18.(本小题8分)
已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，．
(1) 求的长；
(2) 连接，求的长．
19.(本小题8分)
已知，在中，设所对的圆周角为．求证：
证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．
如图①，当圆心O在的一边上时．
∵，
∴，
∵，
∴，即
请你完成图②、图③的证明．
20.(本小题8分)
在二次函数中，与的几组对应值如表所示．
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3) 将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，求的值．
21.(本小题8分)
已知二次函数，为常数．
(1) 若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2) 若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
(3) 求证：该二次函数的图像不经过原点．
22.(本小题8分)
如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
23.(本小题8分)
已知抛物线为常数．
(1) 求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2) 若，两点在此抛物线上，比较与的大小；
(3) 已知点，都在该抛物线上，求证：．
24.(本小题8分)
综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
(1) 当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为 ，排队人数与安检时间的函数关系式为 .
(2) 【模型应用】在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3) 已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．
(1) 求，的值．
(2) 当点在线段上时，求的最大值．
(3) 设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有 个；当时，对应的值有 个；当时，对应的值有 个；当时，对应的值有 个．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】（1，3）
12.【答案】
13.【答案】24
14.【答案】2 cm，
15.【答案】6
16.【答案】​​​​​​​
​​​​​​​

17.【答案】【小题1】
解：把点代入得：，
∴点，
把点代入得：；
【小题2】
解：由（1）得：二次函数的解析式为，
∴二次函数图象的对称轴为y轴，
∵，
∴当时，二次函数中的随的增大而增大．

18.【答案】【小题1】
解：∵是半圆的直径，，
∴，
∵弦，，
∴，
∴；
【小题2】
解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

19.【答案】解：图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
图③证明：如图③所示，延长交圆O于E，
∴，
由图①的证明可知，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：把点代入，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
【小题2】
解：∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象，如图，
【小题3】
解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵当时，图象对应的函数最小值为，
∴或，
∴或，
若，当时，图象对应的函数最小值为，
此时，
解得：或3（舍去）；
若，当时，图象对应的函数最小值为，
此时，
解得：或3（舍去）；
综上所述，n的值为5或1．

21.【答案】【小题1】
解：因为二次函数中，，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线有两个交点，
所以函数的最小值小于，
则，
即，
解得．
【小题2】
解：因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得．
【小题3】
证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴，
∴．
【小题2】
解：连接，交于点E．由题意知，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
由勾股定理知，，
即，
解得，（舍去）．
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为．
【小题2】
解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，，
又∵，
∴．
【小题3】
解：∵抛物线经过，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴
将代入得，
∵，
∴．

24.【答案】【小题1】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】

当时，
【小题3】
设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；

25.【答案】【小题1】
解：对于二次函数，当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵二次函数的图象（记为）经过点，
∴，
解得：
∴，；
【小题2】
解：∵，，
∴二次函数解析式为，
∵直线与轴垂直，
∴，，
∴，
整理得：，
∵，
∴当时，取得最大值为；
【小题3】
2
0
4
无数
…
0
1
…
…
1
…