2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点23 图形的折叠（Word版附解析）

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A．5B．6C．6.5D．7
【答案】D
【解析】∵AB＝4，BC＝5，AC＝6，
∴由折叠的性质得：AE＝AB＝4，DE＝BD，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，CD+DE＝CD+BD＝BC＝5，
∴△CDE的周长为：CE+CD+DE＝2+5＝7．
广东省
1.【2025•深圳8题】如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则EFCG的值为（ ）
A．14B．12C．22D．23
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，OA＝OC=12AC，
由折叠可得，
AO⊥EF，AG＝GO，∠EOA＝∠EAO＝45°，∠FOA＝∠FAO＝45°，AE＝OE，AF＝FO，
∴AE∥OF，AF∥OE，∠EOF＝90°，∴四边形AEOF是正方形，
∴EF＝AO=12AC，GO＝AG=12OA=14AC，
∴CG＝CO+OG=12AC+14AC=34AC，∴EFCG=12AC34AC=23．
河南省
1.【2025•河南】如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2B．6﹣32C．22D．62-6
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴AB＝BC＝6，
根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF，
∵∠B＝45°，∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B，
∴AE＝BE=22AB＝32，
∴BF＝2BE＝62，∴CF＝BF﹣BC＝62-6．
河北省
1.【2025•河北11题】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1＝45°﹣αB．∠1＝αC．∠2＝90°﹣αD．∠2＝2α
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADB＝∠1，
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠ADB＝∠A'DB，∴∠1＝∠A'DB，
∵∠DEC＝90°﹣α，即2∠1＝90°﹣α，∴∠1=45°-12α，故A不正确，
∵∠BDE≠∠CDE，∴∠1≠α，故B不正确，
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠C'ED＝∠CED
∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故C不正确，D选项正确．
湖北省
1.【2025•湖北】如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝22，则CG的长是（ ）
A．2B．2C．2+1D．22-1
【答案】B
【解析】如图，过G作GH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
由对折可得：BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE，
∴∠DEF＝∠FDE＝45°，而DE=22，
∴DF＝EF＝DE•sin45°＝2，∴CD=BC=22+2=BF，
∴AC=BD=BF+DF=22+4，∴OB=12BD=2+2，
∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，∴OG＝HG，
∵BG＝BG，∴Rt△OBG≌Rt△HBG，
∴BH=BO=2+2，∴CH=BC-BH=2，
同理可得：CH=GH=2，∴CG=2+2=2，
故选：B．
二、填空题
四川省
1.【2025•内江】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 ．
【答案】（﹣1.5，5）
【解析】如图，设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G，
则四边形BOGC是矩形，
∴OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°．
由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE．
∵点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3），∴BO＝1，FO＝ 3，
∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1．
在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2，
∴（a﹣1）2+32＝a2，解得a＝5，
∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE．
在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2，
∴（4一 DE）2+22＝DE2，解得DE＝2.5，
∴GE＝1.5，∴点E的坐标为 （﹣1.5，5）．
三、解答题
吉林省
1.【2025•吉林21题】【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出ADAB的值；如果不能，说明理由．
解：【探究发现】四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
【探究证明】证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，∴DE=12AD，BM=12BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，∴∠AET＝30°，∴AT=12AE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ET=AE2-AT2=3x＝GK，
∵E为AD中点，∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KN=3GK=3×3x＝3x，
∵BN＝BM=12BC=12AD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，∴ADAB=4x8x=12；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NH=12y，
∵四边形GFHN是菱形，∴GF＝FH＝NH＝GN=12y，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EG=12y，GW＝AE=12y，∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，∴WN＝GW=12y，
∴AB＝AW+WN+BN=12y+12y+12y=32y，∴ADAB=y32y=23；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，ADAB的值为12或23．
内蒙古
1.【2025•内蒙古18题】如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6．
（1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M．
①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由；
②求△BDM的面积；
（2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长．
解：（1）①PM＝CM；理由如下：
由翻折得AD＝DP，∠DAB＝∠DPB，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠BCD，∴DP＝BC，∠DPB＝∠BCD，
又∵∠DMP＝∠BMC，∴△DPM≌△BCM（AAS），
∴PM＝CM；
②∵△DPM≌△BCM，∴DM＝BM，
如图，过点M作MN⊥BD于点N，过点B作BH⊥CD于点H，
∴DN=BN=12BD=52，
∵BD＝BC＝5，CD＝6，∴DH=CH=12CD=3，
∴cs∠CDB=DHBD=35=DNDM=52DM，∴DM=256，
∴MN=DM2-DN2=103，
∴S△BDM=12BD×MN=12×5×103=253；
（2）过点C作CP⊥BD于点P，连接AG交BD于点T，过点B作BH⊥CD于点H，
由翻折的性质得AG⊥BD，
同（2）可得DH=CH=12CD=3，
∴BH=BD2-DH2=4，
∴S△BCD=12CD⋅BH=12BD⋅CP，即6×4＝5•CP，得CP=245，
∴BP=BC2-CP2=75，
平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥CB，
∴∠ADT＝∠CBP，
又∵∠ATD＝∠CPB＝90°，∴△ADT≌△CBP（AAS），
∴DT=BP=75，
∴DP＝BD﹣BP＝5﹣3＝18，
∵AG⊥BD，CP⊥BD，∴GT∥CP，
∴△DGT∽△DCP，
∴DGDC=DTDP，即DG6=75185，
解得DG=73．
四川省
1.【2025•眉山】综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，折痕交AB于点E，再沿着过点B′的直线折叠，使点D落在B′C边上的点D′处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点B′、D′及折痕CE、B′F，连接B′E、B′C、D′F．
【初步猜想】（1）确定CE和B′F的位置关系及线段BE和CF的数量关系．
创新小组经过探究，发现CE∥B′F，证明过程如下：
由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F=12∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB=12∠BCB'．由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB′C＝∠BCB′，∴① ，∴CE∥B′F．
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② ．
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明△AB′E≌△D′CF，得到B′E＝CF，再由B′E＝BE可得结论．
方法二：过点B′作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB′G，然后证B′G＝B′E可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B′作B′G∥AB交CE于点G，连接D′G，当△B′D′G为直角三角形时，求出BE的长．
解：（1）由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=12∠DB'C，∠ECB'=∠ECB=12∠BCB'．
由矩形的性质，可知AD∥BC，
∴∠DB'C＝∠BCB'．∴①∠ECB'＝∠FB'C．∴CE∥B'F．
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②BE＝CF，
故答案为：①∠ECB'＝∠FB'C；②BE＝CF；
（2）法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝AD，
∵折叠，∴∠EB'C＝∠B＝90°，B'D＝B'D'，BC＝B'C＝AD，∠D＝∠B'D'F＝90°，BE＝B'E，
∴AD﹣B'D＝B'C﹣CD'，即：AB'＝CD'，∠CD'F＝90°＝∠A，
由（1）知：∠CB'D＝∠BCB'，
又∵∠AB'E+∠CB'D＝180°﹣∠EB'C＝90°，∠BCB'+∠B'CF＝∠BCD＝90°，∴∠AB'E＝∠FCD'，
又∵∠A＝∠CD'F，AB'＝CD'，∴△AB'E≌△D'CF，∴B'E＝CF，
∵BE＝B'E，∴BE＝CF；
法二：作B'G∥AB交CE于点G，则：B'G∥AB∥CD，
∵CE∥B'F，∴四边形CFB'G为平行四边形，∴B'G＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴AB∥B'G，∴∠B'GE＝∠BEC，
∵折叠，∴∠BEC＝∠B'EC，BE＝B'E，
∴∠B'GE＝∠B'EC，∴B'E＝B'G，
∴BE＝B'E＝B'G＝CF；
（3）∵B'G∥AB，∴∠A＝∠GB'D＝90°，
由（2）可知：B'G＝B'E＝BE＝CF，CD'＝AB'，△AB'E≌△D'CF，
∴D'F＝AE，
设BE＝x，则：B'G＝B'E＝CF＝x，D'F＝AE＝AB﹣BE＝6﹣x，
∴CD'=AB'=x2-(6-x)2=12x-36，
如图，当△B'D′G为直角三角形时，则：∠B'GD'＝90°，
∴∠GB'D+∠B'GD'＝180°，∴GD'∥AD∥BC，∴∠D'GC＝∠ECB，
又∵∠GCD'＝∠ECB，∴∠CGD'＝∠GCD'，∴D'G=D'C=12x-36，
∵B'G∥AB∥CD，∴∠GB'D'＝∠FCD'，
∴在Rt△B'GD'和Rt△CD′F中，tan∠GB'D′＝tan∠FCD'，
∴GD'GB'=D'FCD'，即：12x-36x=6-x12x-36，
∴x（6﹣x）＝12x﹣36，解得：x=35-3或x=-35-3（舍去）；
∴BE=35-3．