2025-2026学年广东省广州市仲元中学高一（上）月考数学试卷（1月份）（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年广东省广州市仲元中学高一（上）月考数学试卷（1月份）（含答案+解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3}，B={x|ln(x+1)>1}，则A∩B=( )
A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}
2.函数f(x)=sinx|csx|的大致图像为( )
A. B.
C. D.
3.已知平面直角坐标系中点P(tanα,csα)位于第三象限，且|sinα2|=sinα2，则角α2为( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
4.已知函数f(x)=1lg[(25)x−4⋅5x+m]的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. (5,+∞)B. (−∞,5)C. (4,+∞)D. (−∞,4)
5.已知α，β满足sin(2α+β)=512,cs(α+β)sinα=14，则sinβ值为( )
A. 112B. −112C. 14D. −14
6.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则下列说法错误的是( )
A. 点P第一次到达最高点需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D. 点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数解析式为h=4sin(π30t−π6)+2
7.已知x,y∈(−π2,π2)，则x3+y3>−sinx−siny是x+y>0的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知三个锐角α，β，γ满足sinαcsβ= 22,sinβcsγ=12，则sinγcsα的最大值是( )
A. 14B. 34C. 3−14D. 6− 24
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f(x)=tan(2x+π4)，则( )
A. f(x)的最小正周期为π2
B. f(x)的定义域为{x|x≠π4+kπ,k∈Z}
C. 若f(θ)=1，则θ=kπ2(k∈Z)
D. f(x)在其定义域上是增函数
10.已知函数f(x)=sin(csx)+tan(csx)，下列关于该函数结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是周期函数
C. f(x)在x∈[0,π]上不单调
D. y=f(x)− 2+22，x∈[−2π,2π]有4个零点
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)，其中ω>0，下列命题中正确的是( )
A. 若ω=3，y=f(x)的图象可由y=2sin3x的图象向左平移π18个单位长度得到
B. 若ω=3，曲线y=f(x)与曲线y=sinx在区间[−π,π]上的交点个数为0
C. 若f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是(2912,3512)
D. 若f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则f(x)在(0,4π35)单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为 .
13.若不等式sinx−tanx+|tanx+sinx|−k≤0在x∈[3π4,π]恒成立，则k的取值范围是______.
14.定义在R上的函数f(x)满足f(1+3x)=f(1−3x)，且f(2x+4)关于(−2,0)对称，当0≤x≤1时，f(x)=2x−a，则k=12024(k+1)f(k)= .(注；i=1ng(i)=g(1)+g(2)+⋯+g(n))
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：sin20∘sin80∘+cs20∘sin170∘的值；
(2)计算tan20∘+tan40∘+ 3tan20∘tan40∘的值；
(3)若tanα=2，求sin2αcs2α−sin2α的值.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3.
(1)求f(x)的图象的对称轴、单调递增区间；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值，以及f(x)取得最值时x的取值；
(3)当x∈[π6,5π6]时，关于x的不等式af(12x−π6)−f(x+π12)≥4有解，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益f(x)(单位：万元)与研发投入资金x(单位：万元)的关系为f(x)=lg2 x+1+ax+b,x≥0，项目乙研发期望收益g(x)(单位：万元)与研发投入资金x(单位：万元)的关系为g(x)=x−lg2(32−x)+c，0≤x0时，恒有f(x)−f(1x)=lgx.
(1)求f(x)的表达式及定义域；
(2)若方程f(x)=lgt有解，求实数t的取值范围；
(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12，(ω>0)的最小正周期为π2.
(1)求实数ω的值；
(2)若函数f(x)在[m,n](m,n∈R,me−1}，
则A∩B={2,3}，故C正确．
故选：C.
由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案．
本题考查了对数的运算，集合的运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(x)=sinx|csx|，
在(0,π2)上，sinx>0，|csx|>0，则有f(x)>0，排除D，
在(−π,−π2)上，sinx0，f(x)=−tanx−sinx−siny”是“x+y>0”的充分条件；
当x+y>0时，即x>−y，所以F(x)>F(−y)，
即x3+sinx>−y3−siny，即x3+y3>−sinx−siny，此时“x3+y3>−sinx−siny”是“x+y>0”的必要条件；
综上所述“x3+y3>−sinx−siny”是“x+y>0”的充要条件．
故选：A.
设F(x)=x3+sinx，先判断函数F(x)为奇函数，再判断函数的单调性，进而可得“x3+y3>−sinx−siny”是“x+y>0”的充分条件，再由x+y>0时，判断出“x3+y3>−sinx−siny”是“x+y>0”的必要条件，可得结果．
本题考查奇偶函数的性质的应用及函数的单调性的应用，充要条件的判断方法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：根据锐角α、β、γ满足sinαcsβ= 22,sinβcsγ=12，
可得sinβ=12csγ，csβ= 22sinα，
所以cs2β+sin2β=12sin2α+14cs2γ=1，即12(1−cs2α)+14(1−sin2γ)=1，
整理得4(sinγcsα)2+1=2sin2γ+3cs2α≥2 6sinγcsα，
结合sinγcsα0)的周期T=πω，
可得f(x)的最小正周期为πω=π2，故A项正确；
函数f(x)=tan(2x+π4)的定义域满足{x|2x+π4≠π2+kπ,k∈Z}，
化简得{x|x≠π8+kπ2,k∈Z}，故B不正确；
若f(θ)=tan(2θ+π4)=1，则2θ+π4=π4+kπ,k∈Z，解得θ=kπ2(k∈Z)，故C正确；
由正切函数的单调性，可知f(x)在区间(−3π8+kπ2,π8+kπ2)(k∈Z)上是增函数，
f(x)在每个周期上为增函数，且它的图象是不连续的曲线，
因此，不能说f(x)在其定义域上是增函数，故D不正确．
故选：AC.
根据题意利用正切函数的图象与性质，对各项逐一加以验证，可得答案．
本题主要考查正切函数的图象与性质及其应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，f(x)定义域为R.
f(−x)=sin(cs(−x))+tan(cs(−x))=sin(csx)+tan(csx)=f(x)，
所以f(x)是偶函数，故A正确；
对于B，因为f(2π+x)=sin(cs(2π+x))+tan(cs(2π+x))
=sin(csx)+tan(csx)=f(x)，所以f(x)的一个周期是2π，故B正确；
对于C，令t=csx，则f(x)=sin(csx)+tan(csx)化为y=sint+tant，t∈[−1,1]，
又y=sint+tant在t∈[−1,1]上单调递增，t=csx在x∈[0,π]单调递减，
所以f(x)在x∈[0,π]上单调递减，故C错误；
对于D，由C选项分析，同理可得f(x)在x∈[π,2π]上单调递增，
可得f(x)=sin(csx)+tan(csx)简图如下：
又f(x)的最大值为f(0)=sin(cs0)+tan(cs0)=sin1+tan1
>sinπ4+tanπ4= 22+1，所以y=f(x)，x∈[−2π,2π]与y= 2+22有4个交点，
故选项D正确．
故选：ABD.
利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A，当ω=3时，f(x)=2sin(3x+π6)，
将y=2sin3x的图象向左平移π18个单位长度，得y=2sin3(x+π18)=2sin(3x+π6)，
即得到y=f(x)的图象，所以A正确；
对于B，当ω=3时，f(x)=2sin(3x+π6)，周期T=2π3,f(x)在[−π,π]上是3个周期，
先作出f(x)在[−π,−π3]上的图象，然后向右平移两次，
每次平移一个周期可得f(x)在[−π,π]上的图象，
再在同一坐标系中作出y=sinx在[−π,π]的图象，
由图可知曲线y=f(x)与曲线y=sinx在区间[−π,π]上的交点个数为6，所以B错误；
对于C，当x∈[0,2π]时，ωx+π6∈[π6,2ωπ+π6]，
若f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则5π≤2ωπ+π60，
所以h(x)在(2,e]上不存在零点；
③当x∈(e,+∞)时，因为y=lnx单调递增，lnx>lne>1，
因为y=sinπ4x≥−1，
所以h(x)>1−1=0，
所以h(x)在(e,+∞)上不存在零点；
综上：h(x)有且只有一个零点x0，且x0∈(1e,1)，
因为h(x0)=lnx0+sinπ4x0=0，所以sinπ4x0=−lnx0，
所以g(sinπ4x0)=g(−lnx0)=e−lnx0−elnx0=1x0−x0，
因为y=1x−x在(1e,1)上单调递减，
所以1x0−x0