2024-2025学年广东省广州市广东仲元中学高三（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市广东仲元中学高三（下）月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={α|2kπ+π4≤α≤2kπ+π2,k∈Z}，B={α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}，则( )
A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=⌀
2.设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A. −15x4B. 15x4C. −20ix4D. 20ix4
3.设a、b∈R，若a+|b|0B. a3+b3>0C. a2−b2e2
B. 当a>b时，e1>e2；当ab>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=π3，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=3r时，椭圆的离心率为______．
14.为求方程x5−1=0的虚根，可以把原方程变形为(x−1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0，由此可得原方程的一个虚根的实部为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
(Ⅰ)证明：tanA2=1−csAsinA；
(Ⅱ)若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tanA2+tanB2+tanC2+tanD2的值．
16.(本小题15分)
已知等比数列{an}的公比q>1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{bn}满足：a1b1+a2b2+…+anbn=(n−1)⋅3n+1，n∈N．
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若man≥bn−8恒成立，求实数m的最小值．
17.(本小题15分)
已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，∠ABC=120°．
(1)求证：平面A1BD⊥平面ADD1A1；
(2)已知点E在线段C1D上(不含端点位置)，且平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为 55，求DEEC1的值．
18.(本小题17分)
如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一点P(1,2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：
(1)求y1+y2的值；
(2)若直线AB在y轴上的截距b∈(−1,3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．
19.(本小题17分)
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中ai∈{0,1}(1≤i≤3，i∈N).而在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a1,a2,a3,⋯⋯,an)，其中ai∈{0,1}(1≤i≤n，i∈N).现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(a1,a2,a3,⋯⋯,an)与(b1,b2,b3,⋯⋯,bn)坐标差的绝对值之和，即为|a1−b1|+|a2−b2|+|a3−b3|+⋯⋯+|an−bn|.回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于0.25n2．
(已知对于正态分布X～N(μ,σ2)，P随X变化关系可表示为φμ,σ(x)=1σ 2π⋅e−(x−μ)22σ2)
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.ABD
10.BD
11.ABC
12.−5
13.35
14.−1− 54或−1+ 54
15.(Ⅰ)证明：tanA2=sinA2csA2=2sin2A22csA2sinA2=1−csAsinA.等式成立．
(Ⅱ)解：由A+C=180°，得C=180°−A，D=180°−B，
由(Ⅰ)可知：tanA2+tanB2+tanC2+tanD2
=1−csAsinA+1−csBsinB+1−cs(180°−A)sin(180°−A)+1−cs(180°−B)sin(180°−B)
=2sinA+2sinB，连结BD，
在△ABD中，由余弦定理有BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，
在△BCD中，由余弦定理有BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcsC，
所以AB2+AD2−2AB⋅ADcsA=BC2+CD2−2BC⋅CDcs(180°−A)，
则：csA=AB2+AD2−BC2−CD22(AB⋅AD+BC⋅CD)=62+52−32−422(6×5+3×4)=37．
又0°