上海市三林中学2025--2026学年高二上册第三次月考数学试题【附解析】

这是一份上海市三林中学2025--2026学年高二上册第三次月考数学试题【附解析】，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1. 已知定直线，定点，则直线与点A确定的平面有___________个（请填写个数）.
【答案】1
【解析】
【分析】根据平面的基本性质即可得出答案.
【详解】解：因为一条直线和直线外一点只确定一条直线，
所以已知定直线，定点，则直线与点A确定的平面有1个.
故答案为：1.
2. 已知球的体积为，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得，
所以球的表面积为.
故答案为：.
（24-25高二上·上海·期末）
3. 某中学举行英语知识竞赛，其中7人比赛成绩分别为：70，99，85，93，98，73，95，则这7人成绩的极差是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据极差的概念，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】极差是最大值与最小值的差，所以这7人成绩的极差是；
故答案为：
（24-25高二上·上海·阶段练习）
4. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位为87，则___________.

【答案】7
【解析】
【分析】根据百分位数计算方法，结合茎叶图可得.
【详解】由题意知，则第四位数为87，结合茎叶图可知.
故答案为：7
5. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
【答案】729
【解析】
【分析】找到第4行第4列的数开始向右数，三个数字为一组，如果数据超过899则跳过，数到第5个899以内的数字即可.
【详解】从685开始向右数，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳过992，991，696重复，跳过，
所以第5个数字为729.
故答案为：729.
6. ，是四面体中任意两条棱所在的直线，则，是共面直线的概率为 .
【答案】##0.8
【解析】
【分析】从四面体的 6 条棱所在的直线中任取两条有种取法，所取的两条棱所在的直线共面的共有种 ，利用古典概型可得结果.
【详解】从四面体的 6 条棱所在的直线中任取两条有种取法，
所取的两条棱所在的直线共面的共有种 ，
因此所求的概率为，
故答案为：.
【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
7. 已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等. 若圆柱 和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为_____.
【答案】3
【解析】
【分析】求出圆柱的体积，设圆锥的底面半径为，求出圆锥的高为，从而得到圆锥的体积，得到方程，求出答案.
【详解】圆柱的体积为，
设圆锥的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为，
则，故，解得，
故圆锥的底面半径为3.
故答案为：3
8. 假设，则的取值范围 _____
【答案】.
【解析】
【分析】由概率的运算性质，得到，结合事件与事件的关系，得到，即可求解.
【详解】因为，
由概率的运算性质，可得，
当事件包含于事件时，可得；
当事件与事件互斥时，可得，
所以，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
9. 已知长为6的线段的两个端点到平面的距离分别为2和4，则直线与平面的所成角大小为________.
【答案】或
【解析】
【分析】当，在平面同侧时，过作，交于，则是所在直线与平面抽成角，由此能求出所在直线与平面所成角大小；当，在平面异侧时，推导出平面，由此能求出所在直线与平面所成角的大小．
【详解】当，在平面同侧时，如图
点到平面的距离，点到平面的距离，
过作，交于，则，，
是所在直线与平面所成角，
，
所在直线与平面所成角的大小为；
当，在平面异侧时，
点到平面的距离，点到平面的距离，
连结，交于，
由题意得，，
，，，，，三点重合，
平面，
所在直线与平面所成角的大小为．
综上，直线与平面的所成角大小为或．
故答案为：或．
10. 从个男生和个女生（）中任选2个人当队长，假设事件表示选出的2人性别相同，事件表示选出的2人性别不同．如果事件的概率和事件的概率相等，则的可能值组成的集合为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，求得，结合为完全平方数，分类讨论，求得的值，即可求解.
【详解】由事件的概率和事件的概率相等，即，
所以，可得，
所以为完全平方数，其中，且，
当时，所以，此时，
当时，所以，此时，
所以的可能值组成的集合为.
故答案为：.
11. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为______克．
【答案】
【解析】
【分析】利用标准差和均值的公式完成计算.
【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，.
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即，，
则，则这6个香囊中草药甲含量的方差
，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克．
故答案为：.
12. 从1，2，，2024中任取两个数a，b（可以相同），则的个位数是1的概率为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】列出的个位数与的个位数，发现周期为4，再求出的个位数是1的情况，再由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】列出的个位数与的个位数，发现周期为4，
则的个位数是的情况有：，
又2024是4的倍数，故表格中一个周期内取数每种组合情况发生的概率均为，
所以个位数是1的概率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析发现的个位数与的个位数呈周期规律，从而得解.
二、选择题
13. 在古典概率模型中，是样本空间，是样本点，是随机事件，则下列表述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由古典概型的概念即可得到结果.
【详解】由古典概率模型可知，，
故选:A
14. 已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可.
【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ A､B 为互斥事件”是“ A､B 为对立事件”的必要非充分条件.
故选：B
15. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（ ）
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1概率为
D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立时间的概率乘法以及列举法，可得答案.
【详解】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A正确；
对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为，故B正确；
对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”，
因为信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为，故C错误；
对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”，
所以其概率为；
若发送0，采用单次传输方案译码为0概率为，
由，且，
则，故D正确；
故选：C.
16. 在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；（2）的模（表示向量、的夹角）．
在正方体中，有以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A. B. 与共线
C. D. 与正方体表面积的数值相等
【答案】C
【解析】
【分析】由向量外积的模的定义，代入计算，即可判断A，由线面垂直的性质定理可得，，即可判断B，由向量外积的定义，即可判断CD
【详解】对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，，
则．
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于B，在正方形中，，又因为平面，
平面，所以．又，、平面，所以平面，因为平面，所以，
同理可证，再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于C，由、和构成右手系知，与方向相反，又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误，
对于D，设正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以D正确．
故选:C．
三、解答题
17. 班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
【答案】（1）240 （2）600
【解析】
【分析】（1）利用捆绑法可求解即可；
(2)根据魔术节目不排在最后一个节目，则先排魔术节目，再排另外5个节目即可．
【小问1详解】
2个相声节目捆绑在一起，内部排列，再与其他4个节目一起排列，
则共有种排法；
【小问2详解】
先排魔术节目，由于不排在最后一个，则共有5种排法，
再排另外5个节目，5个位置，则有种排法，
则共有种排法.
（24-25高三上·江苏·月考）
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）当Q为中点时，求点B到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离.
小问1详解】
由题意证明如下，
∵四边形是正方形，
∴．
∵平面平面，所以
∴．
平面，平面，
∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在正方形中，,
在四棱锥中，，平面，Q为中点，
面，面，,
∴，，
建立空间直角坐标系如下图所示
．
所以，
设平面的法向量为，
则得
当时，则，
设点B到平面的距离为，
，
则．
19. 2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.
（1）求所抽取的“青年人”的人数；
（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.
【答案】（1）80人 （2）事件A与事件B不独立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合题意，可得答案；
（2）根据古典概型以及组合数，结合概率计算公式，可得答案.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，解得：，
又“青年人”占比为，
所以所抽取的“青年人”人数为人；
【小问2详解】
“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为，
所以10人中“中年人”共有5人，
2人均为“中年人”的概率，
2人中至少有1人为男性的概率，
2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率，
因为，所以事件A与事件B不独立.
（25-26高二上·上海·月考）
20. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．
（1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置．
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，易知，则为异面直线与所成的角求解；
（2）分别取，的中点，，连接，，，根据正三棱柱，易证为二面角的平面角，为二面角的平面角求解.
【小问1详解】
解：如图所示：
取的中点，连接，，易知，
则为异面直线与所成的角，
又，，，
由余弦定理得；
【小问2详解】
如图所示：
分别取，的中点，，连接，，，
在正三棱柱中，
易知，，又，
所以平面，又平面，
所以，则为二面角的平面角，
同理为二面角的平面角，
设，则，
所以，，
则，，
当时，即P为的中点时，取得最大值，
21. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．如当临界值时，漏诊率为患病者在区间上的频率，故漏诊率
（1）当临界值时，求误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值．
【答案】（1）3.5%
（2），在区间上的最大值为0.07.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的概率计算，可得答案；
（2）由题意可得函数解析式，根据分段函数的单调性，可得答案.
【小问1详解】
依题意.
【小问2详解】
当时，
，
当时，；
当时，
，
当时，，
所以，在区间上的最大值为0.07.
1
2
3
4
5
6
7
8
的个位数
2
4
8
6
2
4
8
6
的个位数
7
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1
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9
3
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