湖南省湘一名校联盟2026届高三上册12月质量检测数学试题【附答案】

这是一份湖南省湘一名校联盟2026届高三上册12月质量检测数学试题【附答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，则最大的内角为（ ）
A．B．C．D．
3．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（ ）
A．B．C．D．
5．若为偶函数，则（ ）
A．B．C．0或D．
6．在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为，若，则的斜率为（ ）
A．B．-1C．D．
二、多选题
9．设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．两个函数的图象在处的切线互相平行
B．存在实数，使得
C．函数在上单调递增
D．的图象可由的图象绕某个点旋转得到
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的面积为
三、填空题
12．已知复数，且，则 ..
13．已知正数满足，则 .
14．已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望 .
四、解答题
15．记数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
（1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；
（2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程.
参考数据：设，则.
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
17．如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知函数.
（1）若，求的最大值；
（2）证明存在唯一的极大值点，且；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，.
（1）求的方程.
（2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由.
故选A
2．【答案】C
【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为，
由余弦定理得，
由，所以.
故选C
3．【答案】B
【详解】设公差为，则，解得.
故选B
4．【答案】D
【详解】如图，由题意知，因为，所以.
故选D
5．【答案】A
【详解】若为偶函数，又，则或，解得或，
若，则，
若，则，所以.
故选A
6．【答案】B
【详解】如图所示，
要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交，
因为是的中点，所以，
因为，，
所以，所以，
在长方体中，，所以，
所以，
同理可得，即，
因为，所以，即，所以，
即实数的取值范围是.
故选B.
7．【答案】B
【详解】由题意得，即，即，
得，又因为，
所以，
因此.
故选B.
8．【答案】D
【详解】易知，设直线，，，
由，得.
则.
从而， 所以.
由，得，即.
而，代入可得（正根舍去），由，解得，
从而的斜率为.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】对于A，令，则，故A错误；
对于B，由的系数为，故B正确；
对于C，令，则①，
令，则②，
①+②可得，，故C错误；
对于D，对原方程两边求导，有，
令，得，故D正确.
故选BD
10．【答案】ACD
【详解】对于A，求的导数得，故；
求的导数得，故.
两函数的图象在处切线斜率相等，且、，
切线不重合，故切线互相平行，A正确.
对于B，：当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故在处取最小值.
：当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故在处取最大值.因，
故的值始终大于的值，不存在实数使，B错误.
对于C，设，
.
当时，，故分子，
即，故在上单调递增，C正确.
对于D，若函数与关于点中心对称，
则对任意，有.
，对应得，；，，
故与的图象关于点对称.
而关于点对称的图形绕其对称中心旋转后会与另一图形重合，
因此的图象可由的图象绕点旋转得到，D正确.
故选ACD
11．【答案】ABC
【详解】对于A，由双曲线的焦点到渐近线的距离为，可知，故A正确；
对于B，如图（1），取的中点，连接，可知，
由三角形的三边关系，得，因此，故B正确；
对于C，如图（2），可知是的中位线，因此，
又，
因此，故C正确；
对于D，易知的半焦距，如图（3），设，
因为点在左支上，所以；因为点在右支上，所以.
所以.
因此，连接，可知.
在中，有，解得.
因此，从而的面积为，故D错误.
故选ABC.

12．【答案】2
【详解】由，得，
所以，又，故.
13．【答案】16
【详解】因为
，
所以.
14．【答案】
【详解】方法一：的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为，
因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种，
要得到，先从5个元素中选个公共元素，有种方式，
对于剩余的个元素，每个元素有3种状态：
（1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式，
所以，的分布列为：
所以.
方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为.
对于中的每个元素，定义，则，所以，
对每个有一半子集中含有，另一半子集不含，即，
所以，所以，故.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，得，整理得，
所以从开始成公比为3的等比数列，则.
综上，；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，
则，
两式相减，得，
所以也满足该式，
故.
16．【答案】（1）
（2）.
【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，
故所求概率为.
（2），
由题知，，
，
，
，故.
17．【答案】（1）见详解
（2）.
【详解】（1）连接，与交于点，连接，如图所示，
根据正四棱锥的性质可知平面.
所以，又，又平面，所以平面，
又平面，所以.
又，又平面，
所以平面.
（2）连接.由（1）知平面，所以.
因为是的中点，是的中点，所以，所以.
又是的中点，所以，从而是正三角形.
如图，以直线分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则.
因为平面，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，因为，
所以，
令，解得，所以平面的一个法向量为.
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）0；
（2）见详解；
（3）.
【详解】（1）当时，，则.
易知在上单调递减，且，
当时，单调递增，当时，单调递减，
因此的极大值即最大值，为；
（2），设，
因为，所以在上单调递减，又，时，，
因此，使得，即，即，
当时，单调递增，当时，单调递减，
因此存在唯一的极大值点，
，
当且仅当时等号成立，得证.
（3），即，因为，所以，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式转化为恒成立，设，
所以，
令，解得，则在上的单调性如下，
在上，单调递增，在上，单调递减，
所以在内有唯一极大值点，即，从而，
当时，不等式转化为恒成立，
令，解得，则在上的单调性如下，
在上，单调递减，在上，单调递增，
所以在内有唯一极小值点，则，从而，
综上，的取值范围是.
19．【答案】（1）；
（2）（i）见详解；（ii）.
【详解】（1）设的半焦距为，由题意知，
由椭圆的几何性质知，，
，则，
，
，故的方程为.
（2）（i）由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直，
设，直线，
将代入，整理得，
，
，
，同理可得，
，
∴直线，即，
∴直线过定点.
（ii）如图，连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点，连接.
分别为的中点，
，则，
，故.
由（i）知，，
同理可得，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
面积的最小值为.
0
1
2
3
4
5