湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 在中，，则最大的内角为（ ）
A. B. C. D.
3. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
4. 在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若为偶函数，则（ ）
A. B. C. 0或D.
6. 在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为，若，则的斜率为（ ）
A. B. -1C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，则（ ）
A.
B
C.
D.
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 两个函数的图象在处的切线互相平行
B. 存在实数，使得
C. 函数在上单调递增
D. 的图象可由的图象绕某个点旋转得到
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B
C. 若，则
D. 若，则的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知复数，且，则__________..
13. 已知正数满足，则__________.
14. 已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
（1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；
（2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程.
参考数据：设，则.
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
17. 如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知函数.
（1）若，求的最大值；
（2）证明存在唯一的极大值点，且；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，.
（1）求的方程.
（2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积最小值.