天津市蓟州区第一中学2025--2026学年高二上册1月自主检测数学试题【附答案】

这是一份天津市蓟州区第一中学2025--2026学年高二上册1月自主检测数学试题【附答案】，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，若，则的值等于（ ）
A．8B．10C．13D．26
3．非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
4．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列 满足 ，，且 是公比为的等比数列，，则 （ ）
A．B．
C．D．
9．双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．已知实数成等比数列，则 .
11．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 .
12．正项等比数列中，，若存在两项使得，则的最小值是 .
13．已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 .
14．双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 .
15．已知数列，，将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，则 .
三、解答题
16．如图，是边长为的正方形，DE⊥平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
17．已知数列满足：，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）设，求数列的前n项和.
18．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程.
19．已知椭圆C：的焦距长为2，左，右顶点分别为，左，右焦点分别为，上顶点为D，过点的直线与椭圆相交于点A，B，且的周长为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且满足，求直线l的方程.
20．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）集合共有4个元素，求实数范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】抛物线的标准方程为，据此可得抛物线的焦点坐标为.
本题选择C选项.
2．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选C.
3．【答案】C
【详解】因为为非零数列，由，可得，对任意且都成立，
则是等比数列，充分性成立；
若是等比数列，则，即，对任意且都成立，必要性成立，
所以非零数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的充要条件.
故选C
4．【答案】A
【详解】双曲线C：的离心率为,
故，，
.
故双曲线C的渐近线方程为：.
故选A
5．【答案】D
【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线是，则①，
抛物线的准线是，则，从而②，
①②联立解得所以双曲线的方程为．
故选D．
6．【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选D.
7．【答案】D
【详解】对于①：因为，所以，，
所以，故①正确；
对于②：因为，所以，
所以，故②正确；
对于③：因为，所以为单调递增数列，
所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确；
对于④：因为，且为单调递增数列，且，
所以，且满足成立的最小n值为13. 故④正确.
故选D
8．【答案】A
【详解】由题意知是公比为的等比数列，，
则；
故当时，，
则，
当时，也适合上式，
故，则.
故选A
9．【答案】A
【详解】过点作，垂足为，如图所示：则

因为，所以，
设，根据双曲线的定义得：
则，
，
所以，
所以，
则，
因为直线的倾斜角为，所以，
所以，
在中，，
在中，，
由余弦定理得：
，
整理得，，
故选A．
10．【答案】
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以.
11．【答案】
【详解】设公差为，因为，所以，，
，故，即，
所以，
故.
12．【答案】/
【详解】设正项等比数列的公比为，
由得：，则，解得：（舍）或，
由得：，，即；
所以（当且仅当，时取等号），
的最小值为.
13．【答案】3
【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点，
到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标，
所以抛物线焦点坐标，准线方程为，即抛物线方程，示意图如下：
过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF，
根据抛物线定义有：，
即动点到直线和距离之和等于，
当三点共线时，最小，即点F到直线的距离，
所以动点到直线和距离之和最小为.
14．【答案】
【详解】记 与的周长分别为与，
由题意，设 与的内切圆半径为，
则，
由可得，所以，所以，
又 与的周长之和为，所以．
因为，
又，所以可得．又，
所以．
由可得，化简得，
所以离心率．

15．【答案】
【详解】由题意可得中间插入项，中间插入项，
中间插入项，中间插入项，
中间插入项，中间插入项，
所以的前项中有项，有项，
所以
.
16．【答案】（1）见详解；
（2）;
（3）.
【详解】（1）
根据题意以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
易知平面的一个法向量为，
显然，又平面，
所以 平面；
（2）由上坐标系可知，则，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则有，
，
取，则，即，
设平面与平面的夹角为，则；
（3）由（2）得平面的一个法向量为，
又，所以点D到平面的距离.
17．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）由题意，由得，
所以，又，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，即，
所以．
所以
；
（3）由知，
所以，
所以，
两式相减得：
，
所以．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由得，
又∵短轴长为2，可得，∴，
∴椭圆的标准方程为：.
（2）易知直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，
设直线的方程为：，则联立，
消元得：，
，即.
设，，
∴，，
由题意可知，即：
，
∴，解得，
∴，所以直线的方程为：.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意得，故，
由椭圆定义可知，
故的周长，解得，
所以，
所以椭圆C的标准方程为；

（2）由题意得，故直线l的方程为，
与联立得，
设，，
恒成立，
由韦达定理得，解得，
故，
令，解得，
又，
则直线方程为，即，
联立，解得，故，
中，令得，故
又，
故，
即，
解得，所以直线l的方程为，
即.

20．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）当时，用替换得：，
将原式与 时的式子相减得：
，
两边乘以 得，
；
当 时，有，上式也成立，
故 是首项为 、公比为 的等比数列，
因此，
点 在直线 上，
所以，
故是首项为、公差为的等差数列，
因此，
（2）由 （1） 知 ，，，
所以，
故.
（3）由 （1） 知 ，，所以，该表达式对有意义，
令，
计算部分值：，，，，，
又
，
当时，
故对恒成立，
在时单调递减，所以对恒成立.
集合的元素是满足的自然数（），
要求恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个，即， 使得，
当时，均满足，至少有 5 个元素；
当 （即时， 满足，
而不满足，恰好 4 个元素；
当时，满足条件的 减少至 2 个或更少.
因此， 恰有 4 个元素当且仅当，
即.