福建省福州市平潭翰英中学2025--2026学年高三上册期中考试数学试题【附解析】

这是一份福建省福州市平潭翰英中学2025--2026学年高三上册期中考试数学试题【附解析】，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解．
【详解】由集合，得．
故选：A
2. 若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】结合复数的除法运算求出复数，即可判断.
【详解】，
所以在复平面内对应的点坐标为，第四象限，
故选：D
3. 若向量，，则（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量运算的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以，
故选：D
4. 已知，则的值（ ）
A. 2B. －2C. 3D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可．
【详解】对数函数单调递增，故，
又因为指数函数单调递增，故．
所以.
故选：D．
6. 已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交.
【详解】由题意可得直线：过定点.
因为，所以点在圆内，
则直线与圆相交.
故选：C.
7. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A. B. C. 4或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解.
【详解】当的焦点在轴上时，，
易知，则，解得；
当的焦点在轴上时，，
易知，则，解得，
所以的值为或.
故选：D
8. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案.
【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为有三个零点，不妨令，
所以有三个不相等的根，
即与图象有三个不同的交点，
作出图象，如图所示

所以，
因为为方程，即的两个不相等实根，
所以，
因为为方程的根，所以，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：D
二、多选题
9. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 平面AEF
C. 异面直线与EF所成角的余弦值为
D. 点到平面AEF的距离为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
对于A，因，
则，故，A正确；
对于B，，，
设平面AEF的法向量为，
则故可取，
因，则，又平面AEF，
故平面AEF，故B正确；
对于C，因，
则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为，
则点到平面AEF的距离为，D正确.
故选：ABD.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 在上为减函数
D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可．
【详解】由已知，则，
图象过，
又，
显然的图象关于点对称，A正确；
令，得的对称轴为，
令，得，故B错误；
时，令在上递增，因此C错误；
把的图象向右平移个单位长度，
得函数表达式为，它是偶函数，D正确．
故选：AD．
11. 已知数列的首项，前项和为，且，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. 是递减数列D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先代入递推公式求，判断A，利用构造法，判断B，再求数列的通项公式判断C，再利用放缩法求和，判断D.
【详解】A.，故A正确；
B.由可知，，则，
而，故
即，且，
所以数列是首项为2，公比为2等比数列，故B错误；
C.由B可知，，则，数列是正项单调递增数列，
所以数列是递减数列，故C正确；
D.当时，，
所以时，，即，
所以，
，
所以，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 已知圆，则半径_______．
【答案】
【解析】
【分析】先将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，再根据标准方程确定圆的半径.
【详解】由圆，得到，
所以圆的半径为.
故答案为：
13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值.
【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入，
得到切线的斜率，则切线方程为，即，
由，求导可得，
由曲线在点处的切线与曲线相切，
则曲线的切线为，
令，解得，
将代入，可得，得到曲线上切线的切点为，
将代入，可得，解得．
故答案为:．
14. 如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后确定各点的坐标和三棱锥外接球的球心坐标，根据半径相等可求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.
【详解】取的中点，连接，，以为原点，，所在直线分别为轴，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
易知外接圆的圆心坐标为，
可设三棱锥外接球的球心为，
由，可得，解得，
故三棱锥外接球的半径的平方，
故外接球的表面积为．
故答案为：.
四、解答题
15. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角：
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解；
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得.
因为，
所以，即.
又，所以，即，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以.
由余弦定理得，即，
即，可得，
所以的周长为.
16. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式；
（2）通过裂项相消方法化简的表达式，并证明不等式.
【小问1详解】
在等差数列中，，则.
又，所以该等差数列公差.故.
所以，
故数列的通项公式为.
【小问2详解】
因为，所以，
则
化简得.
因为，所以，故.
17. 如图，在三棱锥中，底面，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明
（2）利用线面角的向量法求解即可.
【小问1详解】
因为底面，平面
所以，又因为，
，平面，
所以平面.
【小问2详解】
过点作平面的垂直，并以该直线为轴，
以为原点，以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
设与平面所成角为，
.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）利用（2）的结论证明：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由不等式恒成立，分离参数构造函数，再求出函数的最大值即得.
（3）结合（2）的结论得，，再利用不等式的性质推理即得.
【小问1详解】
当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
函数的定义域为，，令，
依题意，，恒成立，
求导得，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，，即，当且仅当时取等号，
则当时，，，…，，
因此，
所以原不等式成立.
19. 已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，是否存在使得？说明理由；
（3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由见解析；
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程；
（2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明；
（3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值．
【小问1详解】
椭圆的离心率为，且过点．
，解得，，
椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
不存在直线与椭圆交于、两点，满足．
当时，设，
由，消去得，
，因此，
则，，
所以，
，
因为，所以，所以，无解，
所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足．
【小问3详解】
为定值．
设，
由消去得，
，因此，
则，
所以线段的中点为，线段的中点在直线上时，
所以，所以；
所以
.