【数学】福建省福州福清市2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】福建省福州福清市2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设点，而点，则，又，
因此，解得，所以点的坐标是.故选：D
2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以经过两点的直线与轴垂直，所以其倾斜角为90°.
故选：C.
3. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，线段的中点为，
线段的垂直平分线的方程是，化为：，
故选：A．
4. 在四面体OABC中，，，，为BC的中点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,
即.故选：B.

5. 若点到直线l：的距离为，则（ ）
A. 5B.
C. 5或D. 或15
【答案】C
【解析】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或．故选：C.
6. 直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线，即，与轴，轴分别交于点、，
则的中点为，且，所以以线段为直径的圆的方程为，即.故选：B
7. 已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由直线过定点，又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数取值范围为.故选：B.
8. 如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点作于，连接，菱形边长2，，
由半圆面平面，半圆面平面平面，
得平面，而的面积是定值，要三棱锥的体积最大，
当且仅当最大，此时为弧中点，为中点，而为正三角形，
因此，又平面，则平面，
而，则平面，又平面，于是，
则是二面角的平面角，，，
所以二面角的余弦值.故选：A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平行六面体中，与向量相等的向量有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】如图，在平行六面体中，与相等的向量有，
故选：BD.

10. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 若和外离，则或
B. 若和外切，则
C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切
D. 当时，和内含
【答案】ABC
【解析】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，所以，
若和外离，则，解得或，故A正确；
若和外切，则，解得，故B正确；
当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当时，，则和相交，故D错误.
故选：ABC．
11. 如图，在棱长为2正方体中，、分别为AB、BC的动点，且，则以下命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
∴，，，.
A. 当点分别在点处时，与不平行，选项A错误.
B.因为 ，所以，选项B正确.
C.由题意得，，
所以，当且仅当，即时，取等号，故三棱锥的体积最大值为，选项C正确.
D.设三棱锥的外接球半径为，因为平面，所以，其中为的外接圆半径，为的长，
因为为直角三角形，所以
，
当时，，，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知过点和的直线与斜率为2的直线平行，则的值为______.
【答案】1
【解析】由过点和的直线与斜率为2的直线平行，得，解得，
所以的值为1.故答案为：1
13. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 _______
【答案】
【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，
圆心到直线的距离为，不成立；
当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，
圆心到直线的距离等于半径为：，解得，
所以直线方程为：，即.故答案为：.
14. 已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为______.
【答案】
【解析】因为，
所以，所以，
由三棱柱的结构特点可知，所以异面直线与的夹角即为（锐角），
因为，所以，
所以，所以异面直线与的夹角的余弦值为，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.
（1）若，求；
（2）若不构成空间的一个基底，求的值.
解：（1）因为，所以，解得，
所以，所以.
（2）因为不构成空间的一个基底，所以共面，
设，所以，解得，
所以，即.
16. 已知直线 与直线交于点.
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）求过点且垂直于直线的直线的方程；
（3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.
解：（1）由，得，所以交点，
设过点且平行于直线的直线方程为，
将点坐标代入，解得，则直线方程是:.
（2）求过点且垂直于直线的直线方程为，
将点坐标代入，解得，则直线方程是:.
（3）当直线过原点时，设直线方程为，将点坐标代入，可得，则，化简可得；
当直线不过原点时，设直线方程为，
由条件可得，解得，则，化简可得；
综上所述，直线的方程为或,
17. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线AE的距离；
（2）求点C到平面的距离.
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，且为线段的中点，为线段的中点，
则，，，
所以.又，
所以点到直线的距离为.
（2）由题意得，
设平面的法向量为，则，即，
取，则.所以，是平面的一个法向量.
所以到平面的距离为.
18. 已知圆C的方程为：，直线l的方程为：，
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）证明：直线l与圆C相交，设直线l与圆C相交于A、B，求弦长的最小值，及此时直线l的方程；
（3）圆C的圆心C与A、B构成三角形，求三角形ABC面积的最大值．
（1）解：令可得，即，令，易得此时，可得，
依题意，化简得，故或.
故直线l的方程为：或.
（2）证明：即，故直线l过定点.
因为，故在圆内.故直线l与圆C相交.
故当直线l与直线垂直时弦长AB最小，此时，，
故直线，.
此时，，故，即.
（3）解：依题意，
故当，即为直角时取最大值.
由（2）可得当时坐标分别为，此时为直角.
故三角形ABC面积的最大值为2.
19. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.

（1）求证：平面PAD；
（2）若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：在中，，
由余弦定理，得，
则，即，由平面平面，
平面平面平面，
所以平面.
（2）解：设的中点分别为，连接，
由，得，又平面平面，
平面平面平面，则平面，
又平面，则，又，，则，即两两互相垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

，则，
设，则，
于是，
设是平面的法向量，则，
令，则，得，
设直线与平面所成角为，，
则，
即，而，解得，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，.