2025-2026学年河南省驻马店市汝南县双语学校、清华园学校九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年河南省驻马店市汝南县双语学校、清华园学校九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x+6y=10B. x3+5=0C. x2+3x+2=0D.
2.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案.如图斐波那契螺旋线图案中属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 从一副扑克牌中抽到红桃B. 打开电视，正在播放新闻
C. 两个无理数的积是无理数D. 在标准大气压下，加热到100℃时水沸腾
4.用配方法解一元二次方程x2-6x=3，配方正确的是（ ）
A. （x+3）2=12B. （x-3）2=12C. （x+3）2=3D. （x-3）2=3
5.把抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y=3（x+2）2-5B. y=3（x+5）2+2C. y=3（x-2）2+5D. y=3（x+2）2+5
6.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD=38°，则∠ABD的大小为（ ）
A. 76°
B. 52°
C. 50°
D. 38°
7.苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF的中心.若CD=1，则OC的长是（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
8.中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“…”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“…”上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（ ）
A. 2
B.
C. 4
D.
10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-1与二次函数y=kx2+3的大致图象可以是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，从一张腰长为90cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 30cmB. 25cmC. 20cmD. 15cm
12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于x的方程（1-m）x2-x=0是一元二次方程，则m的值可以是 .（写出一个即可）
14.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有 个.
15.如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 cm2（结果保留π）.
16.边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
用适当的方法解下列方程：
（1）x（x-5）=x-5；
（2）x2-7x+5=0.
18.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，1），B（-1，3），C（-2，4）.
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.
19.(本小题10分)
已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2=4时，求k的值．
20.(本小题10分)
寒假期间，某校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择老师参加培训.
（1）若选择一位老师参加培训，则选中丁老师的概率是______；
（2）若选择两位老师参加培训，请你用列表法或画树状图法求出选择的两位老师中恰好有甲老师的概率.
21.(本小题10分)
抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行.在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F，AE=BF.
（1）求证：AC=BD.
（2）若AE=4，AC=8，求两个绳柄之间的距离AB.
22.(本小题10分)
在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究.
根据以上定义，解决下列问题：
（1）若点P是抛物线y=x2+3x+1的“阶梯6点”，求点P的坐标.
设点P的坐标为（x,y），由定义可知y=x2+3x+1，且x+y=6，所以y=6-x,
所以x+x2+3x+1=6，解得x1=1，x2=-5.
所以点P的坐标为______.
（2）若点P是抛物线y=x2-3x-2的“阶梯1点”，求点P的坐标.
（3）若抛物线y=x2+x+c上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围.
23.(本小题12分)
综合与实践：
如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DE，CD，点M，P，N分别为DE，CD，BC的中点，连接PM，PN.
【观察猜想】
（1）图①中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
【探究证明】
（2）把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并证明；
【拓展延伸】
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，DE=2，BC=4，请直接写出△PMN面积的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】2（答案不唯一）
14.【答案】14
15.【答案】（6π-9）
16.【答案】-
17.【答案】x1=5，x2=1 ，
18.【答案】△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，如图即为所求； △ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，如图2即为所求；
A2（1，2）
19.【答案】解：（1）当k=0时，原方程为-3x+1=0，
解得x=，
∴k=0符合题意,
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴=（-3）2-4×k×1≥0，
解得k≤,且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≤;
（2）∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0的两个根，
∴x1+x2=，x1x2=,k≠0，
∵x1+x2+x1x2=4，
∴+=4，
解得k=1，
经检验，k=1是分式方程的解，且符合题意，
∴k的值为1．
20.【答案】
21.【答案】（1）证明：连接OC，OD，如图所示，

∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠ACO=∠BDO=90°．
∵AE=BF，
∴AE+OE=BF+OF，即AO=BO，
在Rt△ACO和Rt△BDO中，
∵，
∴Rt△ACO≌Rt△BDO（HL）．
∴AC=BD；
（2）解：设OE=OC=x,则AO=x+4，
在Rt△ACO中，由勾股定理，得
（x+4）2=x2+82，
解得：x=6．
∴AO=10．
∴AB=20．
22.【答案】（1，5）或（-5，11） （3，-2）或（-1，2） c≤4
23.【答案】PM=PN;PM⊥PN △PMN是等腰直角三角形．
证明：如图②，连接BD，CE．

∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵点M，P，N分别是DE，CD，BC的中点，
∴PM，PN分别是△CDE，△BCD的中位线，
∴，，PM∥CE，PN∥BD，
∴PM=PN，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC．
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形 △PMN面积的最大值为 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n,则称点P为此抛物线的“阶梯n点”.
例如：点P（0，1）在抛物线y=x2+3x+1上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”.