河南省驻马店市汝南县双语学校、清华园学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-自定义类型

这是一份河南省驻马店市汝南县双语学校、清华园学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，它是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，科学家在自然界中发现存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.下列事件中，是必然事件的是（）
A. 从一副扑克牌中抽到红桃B. 打开电视，正在播放新闻
C. 两个无理数的积是无理数D. 在标准大气压下，加热到时水沸腾
4.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，为的直径，为上两点，若则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7.苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
8.中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ）
A. 2B. C. 4D.
10.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于x的方程（1-m）x2-x=0是一元二次方程，则m的值可以是 .（写出一个即可）
14.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有 个．
15.如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．
16.边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转得正方形，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
17.用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1) 画出关于原点O对称的；
(2) 画出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．
19.(本小题7分)
已知关于的方程有实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．
20.(本小题7分)
寒假期间，某校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择老师参加培训．
(1) 若选择一位老师参加培训，则选中丁老师的概率是 ；
(2) 若选择两位老师参加培训，请你用列表法或画树状图法求出选择的两位老师中恰好有甲老师的概率．
21.(本小题7分)
抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳，分别与空竹相切于点，，连接左右两个绳柄，，经过圆心，交于点，，．
(1) 求证：．
(2) 若，，求两个绳柄之间的距离．
22.(本小题8分)
在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯点”进行研究．
根据以上定义，解决下列问题：
(1) 若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标．
设点P的坐标为，由定义可知，且，所以，
所以，解得，．
所以点P的坐标为 ．
(2) 若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标．
(3) 若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围．
23.(本小题9分)
综合与实践：
如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，，点M，P，N分别为，，的中点，连接，．
(1) 【观察猜想】图①中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2) 【探究证明】把绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接，判断的形状，并证明；
(3) 【拓展延伸】把绕点A在平面内自由旋转，，，请直接写出面积的最大值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】2（答案不唯一）
14.【答案】
15.【答案】 /
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
移项，得，
提公因式，得，
∴，
∴．
【小题2】
解：，
这里，
∴，
∴，
∴．

18.【答案】【小题1】
解：∵，，，与关于原点O对称，
∴，，，
∴如图，即为所求．
【小题2】
解：如图，为所求．
点的坐标为．

19.【答案】【小题1】
当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当时，方程是一元二次方程，由题意得
，
解得：，
综上，的取值范围是；
【小题2】
和是方程的两根，
，，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，且，
答：的值为.

20.【答案】【小题1】
【小题2】
解：根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，
其中选择的两位老师中恰好有甲老师的结果有6种，
∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率．

21.【答案】【小题1】
证明：连接，，如图所示，

∵，分别与相切于点C，D，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴．
∴；
【小题2】
解：设，则，
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
∴．
∴．

22.【答案】【小题1】
或
【小题2】
解：设点P的坐标为，
由定义可知，且，
∴，
∴，
解得，，
∴点P的坐标为或；
【小题3】
解：设点P的坐标为，
由定义可知，且，
∴，
∴
由题意得，，
∴．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
是等腰直角三角形．证明如下：
如图②，连接，．
由旋转知，．
，，
．
，．
点M，P，N分别是，，的中点，
，分别是，的中位线．
，，，．
，，．
是等腰三角形，
，
．
，
．
．
是等腰直角三角形．
【小题3】
如图②，连接，
，，均为等腰直角三角形，
∴，
∴，同理．
由（2）知，是等腰直角三角形，．
最大时，即最大，的面积最大．
∵，
的面积最大时，点D在的延长线上，此时．
．
．
定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”．例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则，点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”．