2026届湖北省部分市州高三上学期1月联考数学试卷（学生版）

这是一份2026届湖北省部分市州高三上学期1月联考数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D. i
3. 若，则“”是 “”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为400m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
C. 若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27
D. 若为两个随机事件，，，，则
10. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，为的准线，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 以为直径的圆与相切D.
11. 已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数的图象关于直线对称D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则______.
13. 已知双曲线C：，过C的左焦点F的直线与圆O：相切于M，与C的右支交于点R.若的中点为N，则_______.
14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
16. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分.
（1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；
（2）设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
17. 如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点.
（1）证明：；
（2）求二面角余弦值的最小值.
18. 如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.
这些折痕围成一个图形，设关于折痕的对称点为Q点.
（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形C的标准方程；
（2）过的直线交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求的方程；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.
19. （1）已知函数.
（i）若，求曲线在点处的切线方程；
（ii）若时，恒成立，求的最大值；
（2）不等式对任意的成立，求的取值范围.