湖北省部分市州2023-2024学年高三上学期元月期末联考数学试卷

这是一份湖北省部分市州2023-2024学年高三上学期元月期末联考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知圆与轴交于等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单选题：每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1.已知为虚数单位，则（ ）
A. B. C.-1 D.1
2.定义全集，则（ ）
A. B. C. D.
3.设命题：数列是等比数列，命题：数列和均为等比数列，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，且如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是唯一的.如，则2000的不同正因数个数为（ ）
A.25 B.20 C.15 D.12
5.某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（ ）
A.同时选择两项参加的人数可能有100人
B.同时选择两项参加的人数可能有180人
C.同时选择两项参加的人数可能有260人
D.同时选择两项参加的人数可能有320人
6.圆锥中，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，底面圆半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点，则面积的最大值为（ ）
A.4 B. C. D.6
7.抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（ ）
A.-2 B.-1 C. D.
8.已知函数，则下列关于说法正确的是（ ）
A.的一个周期为
B.在区间上单调递减
C.的图象关于点中心对称
D.的最小值为
二､多选题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.
9.新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保､乘坐舒适､操控性好､使用成本低等优势，近几年在我国得到越来越多消费者的青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表：
针对上表数据，下列说法正确的有（ ）
A.销量的极差为3.6
B.销量的分位数是13.2
C.销量的平均数与中位数相等
D.若销量关于月份的回归方程为，则
10.已知圆与轴交于（原点），两点，点是圆上的动点，，则（ ）
A.的最大值为
B.的最小值为1
C.
D.令，则存在两个不同的点，使
11.设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
12.如图，某工艺品是一个多面体，点两两互相垂直，且位于平面的异侧，则下列命题正确的有（ ）
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.当点为的中点时，线段的最小值为
C.工艺品的体积为
D.工艺品可以完全内置于表面积为的球内
三､填空题：每小题5分，共20分.
13.已知函数是偶函数，则__________.
14.若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则__________.
15.已知方程有唯一实根，则实数的取值范围是__________.
16.设椭圆的左右顶点分别为为椭圆上异于的任意一点.过右焦点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，连接并延长交直线于点，若，且，则椭圆离心率的取值范围是__________.
四､解答题：共70分.解答题需要在答题卡上写出必要的说明或推理过程.
17.（本小题满分10分）
如图，在中，，点是边上一点，且，
（1）求的面积；
（2）求线段的长.
18.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，且为棱的中点，为棱上的动点.
（1）求二面角的正弦值；
（2）是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为.假设各局比赛结果相互独立.
（1）求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
（2）设比赛进行的总局数为，求的分布列和数学期望；
（3）如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.
20.（本小题渄分12分）
已知正项数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）
已知.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知双曲线与双曲线有相同的浙近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
（1）已知为上任意一点，求的最小值；
（2）已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
湖北省部分市州2024年元月高三期末联考
数学参考答案
一､单选题，每小题5分
1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.D
8.【解析】对于A，错误；
对于B，连续，不可能在区间上单调递减，B错误；对于C，的图象不可能关于点中心对称；
【对于A，B，C三个选项也可以直接推理论证，可以得出同样的结论.】
对于D，是偶函数，.不妨研究，此时
,
令，则，
在时恒成立
在时单调递减，，
D正确.应选择D.
附图象：
二､多选题，每小题5分，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.
9.ACD 10.AC 11.BC 12.BC
11.【解析】如图，设为直线上任意一点，过点作的切线，切点为，则函数图象在点B处的切线方程为，即，
整理得，，解得國
当时，，方程仅有一个实根，切线
仅可以作1条；
当时，，方程有两个不同实根，切
线可以作2条.答案为.
12.【解析】根据题意可以构造长宽高分别为的长方体，
如图对于，异面直线与所成角的余弦值为错误：
对于，当为的中点时，垂直于长方体的上下底面，此时
线段的最小值为正确：
对于，工艺品的体积
，C正确；
对于D，由于的顶点都在长方体的顶点处，的外接球即为长方体的外接球，
设的外接球半径为，则，外接球的表面积为，
不可以完全内置于表面积为的球内，错误.
答案为.
三､填空题，每小题5分.
14.7 15.写或不扣分 16.
15【解析】
令，则，而在上递增
结合函数和的图象易知，或.
16.【解析】设椭圆右焦点为，直线与轴交于点，
，结合图形知，
又，即
计算得，，所以
.
四､解答题
17.（10分）【解析】（1）
而，
.
（2）解法（1）：
在中，
在等腰中，
Rt中，
.
解法（2）：由得，
18.（12分）【解析】（1）连接交于点，则，
建系如图，则，
，
设平面，平面的法向量分别为，则
由，取
由，取
设二面角的大小为，
所以二面角的正弦值为.
②存在符合题意，且.理由如下：
解法①：（几何法）
取中点，连接，则，而平面平面，
平面；
过作交于，连接.同理可知，平面；
由平面平面，
平面点即为所求的点.
四边形为平行四边形，，所以.
为靠近点的四等分点（即）
解法②：（向量法）
令，则
若平面平面
注：其他解法，可以酌情给分.
19.（12分）【解析】（1）比赛进行4局后甲获胜，则甲在前3场需要胜2局，第4局胜，
（2）由题意知，的取值可能为.
，
，
的分布列为：
（3）乙应该选择3局2胜制.
附理由如下：（供研究使用，考生无需在答题卡上计算）
“3局2胜制”，乙可能2：0，2：1两种方式获胜，获胜概率：
“5局3胜制”，乙可能3：0，3：1，3：2三种方式获胜，获胜概率：
因为，所以乙应该选择3局2胜制对自己更有利.
20.（12分）【解析】（1）证明：当时，，由于
当时，，
，即
数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，
数列是常数列.
【也可以由累乘法或迭代法求得】
也可分类讨论得：
21.（12分）【解析】（1）证明：先证当时，.
令，则在时恒成立，
在上单调递增，，
即当时，.
要证，只需证明，即证
令，则
.
（或）
当且仅当时等号成立，而
在在上单调递增，，即
当时，.
（2）令，则，
令，则在上单调递减，，
而在上递减，在上递增
的值域为
（i）当，即时，恒成立，所以在递增，
符合题意；
（ii）当3-，即时，存在使得
当时，递减，此时，矛盾，舍.
综上知，.
22.（12分）【解析】（1）设双曲线的方程为，其上焦点坐标为，
一条浙近线方程为，则，
的方程为.
设，则，要使最小，结合图形和题意知.于是
①当，即时，在递增，
当时，；
②当，即时，在递减，在递增，
当时，.
综上，.
（2）（i）联立得，，
由题意知，
直线的方程为，
令得，；令得，
点的轨迹方程是
方程表示去除上下顶点的双曲线.
（ii）点的轨迹方程是月份
1
2
3
4
5
6
销量（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
3
4
5